２つの不等式

質問

aを正の定数とするとき、２つの不等式
｛ｘ＾２－２ｘ＞０
｛ｘ＾２－３ax＋２a^2＜０
を同時に満たす整数ｘが存在しないaの値の範囲を求めよ。

途中式が分かりません。
この２つの式は連立不等式として解けばいいってことですか？
でももし連立不等式だったら、上の式はただのｘ
なのに、下のは２乗で、今まで学校やった連立不等式
ではみたことないものです。
答えは０＜a≦２分の３になるそうです。
お願いします。

回答No.2

broad-grin · ベストアンサー

今解いてみたのですが、答えが合わなかったので、解き方の参考までに見て下さい。
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ます初めに、「aを正の定数とするとき」よりａ＞０とします。…(1)
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　ｘ^2－２ｘ＞０
の両辺を移項して、
　ｘ^2－２ｘ＞０→－ｘ^2＋２ｘ＜０
とします。
そうすると、２つの式が＜０となり、イコールで結べるので、
　ｘ^2－３ａｘ＋２ａ^2＝－ｘ^2＋２ｘ＜０
となり、ｘ^2－３ａｘ＋２ａ^2＝－ｘ^2＋２ｘの部分を計算すると、
　ｘ^2－３ａｘ＋２ａ^2＋ｘ^2－２ｘ
＝２ｘ^2－(３ａ＋２)ｘ＋２ａ^2＞０
となります。
そして、ｘを求めるために解の公式のルートの中(一般的にＤ＝で表される)を使い、
Ｄ＝{－(３ａ＋２)}^2－４・２・(２ａ^2)
　＝(９ａ^2＋１２ａ＋４)－１６ａ^2
　＝－７ａ^2＋１２ａ＋４
　＝(７ａ＋２)(－ａ＋２)
また、２つの式を「同時に満たす整数ｘが存在しない」ことより、
Ｄ≦０
となります。よって、
(７ａ＋２)(－ａ＋２)≦０
７ａ＋２≦０→７ａ≦－２→ａ≦－７分の２※ａ＞０より不適※
－ａ＋２≦０→２≦ａ→ａ≧２…(2)
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(1)、(2)、よりａの範囲は
ａ≧２
となる。
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答えは違ってしまいましたが、解き方は合っていると思うので、頑張って解いて下さい。

参考URL：

http://www2.tokai.or.jp/yosshy/rina13.htm

お礼

早速の回答有難う御座います。
参考にして解いてみたいと思います！

回答No.3

take_5

2次不等式をみたこともない人に、とても理解できるとは期待しないけれど。。。。

通常は、ｘ＾２－２ｘ＞０よりx＞2、or、x＜０‥‥(1)
ｘ＾２－３ax＋２a^2＝(x-a)(x-2a)＜０で、aが正の定数からa＜x＜2a‥‥(2)として、(1)と(2)を数直線上で考える。

しかし、それは結構面倒だからa-x平面上で考えると極めて簡単になる。
xを通常のy軸にとり、aを通常のx軸にとる。
そうすると、a＞０で(2)は直線：x＝aとx＝2aの間の領域になる。
その間で整数ｘで最小のものは3であるから、0＜2a≦3になるのは、殆ど自明。

お礼

回答ありがとうございます！
すこし自力でやってみたいとおもいます。

回答No.1

Denkigishi

まず、ｙ1＝ｘ＾２－２ｘ　　ｙ2＝ｘ＾２－３ax＋２a^2　とおいて、それぞれのグラフを書いてください。
次に、それぞれのグラフの上で、不等式が成り立つＸの範囲に印をつけます。同時に存在しないということは、上の２つの印が重なった所に整数Ｘが存在しないということです。グラフをよく見ながらａの不等式を作ります。

お礼

回答有難う御座います♪
早速解いてみようとおもいます＾ω＾