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連立不等式
解説をお願いします! 連立不等式 2x+3>x+5 X+a>3x+1 を満たす整数xがただ1つだけであるような整数aの値をすべて求めなさい。(aを定数とする)
- tomori_mimori
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(2)よりx < (1/2)(a - 1) ... (*) で、(1/2)(a - 1)は3より大きくないといけないことがわかりました。 さて、どこまで大きくなれるでしょうか。 (1/2)(a - 1)が「ちょうど4」の場合を考えてみましょう。 このとき、(*)はx < 4となり、 xのとり得るべき値は「2より大きくて4より小さい整数」となり、 3がまさにこれに該当しますね。しかも、3「ただ1つのみ」です。 つまり、(1/2)(a - 1)は「ちょうど4になってかまわない」のです。 (1/2)(a - 1)が4を超えてしまうと、xの値は3「ただ1つのみ」でなくなってしまいます。 ∴3 < (1/2)(a - 1) ≦ 4 が成り立ち、、これを整理すると7 < a ≦ 9より、条件をみたす 整数aは8か9となるのです。
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- asuncion
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さて、連立不等式をみたす整数xは3のみであることがわかりました。 次は、問題の (2)よりx < (1/2)(a - 1) ... (*) をどう解釈するかです。 もし、(1/2)(a - 1)の値が「ちょうど3」だったら、どうなるでしょう。 (*)の式は x < 3となり、「2より大きく、かつ、3より小さい」整数は存在しませんから、 (1/2)(a - 1)は「ちょうど3」は取れないことがわかりました。 なので、(1/2)(a - 1)は3より大きくないといけないのです。 ここまでで、 3 < (1/2)(a - 1)でなければならないことがわかりました。 ここまではいいですか?
補足
はい、そこまでよく分かりました。
- asuncion
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だって、(1)からいえる「2より大きい」整数が「ただ1つ」に定まるんやから、 それはx = 3しかないやん。例えばx = 4もOKやったら 3と4の2個になるやん。 ここまではどう?
補足
X>2だから、そうですね。 そこまで分かります。
- asuncion
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2x + 3 > x + 5 ... (1) x + a > 3x + 1 ... (2) (1)よりx > 2 (2)よりx < (1/2)(a - 1) ... (*) これらを同時にみたすような整数xがただ1つのとき、それはx = 3である。 よって(*)より 3 < (1/2)(a - 1) ≦ 4 ... (※)であればよい。 6 < a - 1 ≦ 8 7 < a ≦ 9 これをみたす整数aは8, 9 「なんで(※)で等号が入ったり入らんかったりすんの?」って 疑問に思うたんやったら、aにいろんな整数値を入れて 実験してみること。
補足
よく分かっていなくて申し訳ないのですが、 これらを同時にみたすような整数xがただ1つのとき、それはx = 3である。 何故3であると言えるのか、ここから下の説明をお願いしたいです。
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お礼
補足
ありがとうございます! よく分かりました。