不等式

質問

(1)　|x-4|+|x+3|≧aの解は実数の場合、aの範囲を求めなさい。

(2)　不等式　ｘ^2-ax-8≧０をＡ　x^2-2ax-b<0をＢとし
Ａ∧Ｂ={x|４≦ｘ＜５}の場合、a,bの値を求めよ。
また、Ａ∨Ｂを求めよ。

という問題をといたのですが、答えは教科書にのってるのですが途中式がないので質問さしていただきました。
友達に聞いたのですが、さっぱりわかりません。
よろしければ詳しく説明してください。よろしくお願いいたします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

(1)は、絶対記号を外すために次の3通りで場合分けしてみてください。
　　(a)x≧4、(b)x≧-3、(c)x＜-3
　すると(b)の場合だけ、ｘに関する条件が消えて任意の実数ｘに対して成立することが分かります。そのときのａに関する条件を求めれば答えが得られます。

　(2)は、Ａの左辺を０とおいたときの2次方程式の解をα、βとし、同様にＢの左辺の2次方程式の解をγ、δとすると、2次方程式の解と係数の関係から次の関係が得られます。
　　α＋β＝ａ、αβ＝－８
　　γ＋δ＝２ａ、γδ＝－ｂ
　そして、α、β、γ、δを使って不等式の解を表すと、次のようになります。
　　Ａ＝{ｘ|ｘ≦α、β≦ｘ}
　　Ｂ＝{ｘ|γ＜ｘ＜δ}
　ここで、Ａ∧Ｂ={x|４≦ｘ＜５}となるためには、β＝４、δ＝５出なければならないことが分かります。
　このことから、さきの解と係数の関係を使うと、
　　α＝－２、γ＝－１、ａ＝２、ｂ＝５
と求められます。

　次に、Ａ∨Ｂですが、
　　Ａ＝{ｘ|ｘ≦－２、４≦ｘ}
　　Ｂ＝{ｘ|－１＜ｘ＜５}
であることから、
　　Ａ∨Ｂ＝{ｘ|ｘ≦－２、－１＜ｘ}
と求められます。

お礼

回答ありがとうございます！！
　＞(a)x≧4、(b)x≧-3、(c)x＜-3
　＞すると(b)の場合だけ、ｘに関する条件が消えて任意の実数ｘに対＞して成立することが分かります。そのときのａに関する条件を求めれ＞ば答えが得られます。

というのは理解できました。その後の方法がよくわかりません。。

また(2)の問題でβ＝４、δ＝５となっておりますがｙ＝４、ｘ＝５というのは考えなくてよろしいのでしょうか？？というか一方の範囲だけに解があるってことですよね？その場合、ｙ＝４、ｘ＝５に代入するってのはだめなんですか？

回答No.3

Mr_Holland

＃１／＃２です。
　1問目の疑問は解消されたとのこと、よかったですね！

＞Ａ＿＿＿－－－－－●＿＿＿＿＿＿●－－－－－－－－－－
＞Ｂ＿＿＿＿＿○－－－－－－○
＞こういう状態を考慮する必要はないのですか？的なことを言いたかったのですが・・・理解できるでしょうか？

　この場合、Ａ∨Ｂも含めて書いてみると分かります。
Ａ＿＿＿－－－－－●＿＿＿＿＿＿●－－－－－－－－－－
Ｂ＿＿＿＿＿○－－－－－－○
Ａ∧Ｂ＿＿＿○－－●
－－－－－－γ－－α－－－δ－－β－－－－－－－－－－

　このとき、Ａ∧Ｂ＝{ｘ|γ＜ｘ≦α}となり、問題のＡ∧Ｂ={x|４≦ｘ＜５}と見比べると、不等号が一致していないことが分かります。（下限（γ側)には等号がなく、上限（α側)には等号が付いてしまっています。）
　そのため、このケースは問題のＡ∧Ｂ={x|４≦ｘ＜５}を満たすことができないので、β＝４、δ＝５のケースしかありえないことになるのです。

お礼

お返事大変遅くなって申し訳ございませんでした！
何回も問題を解くうちにだんだんとニュアンスがつかめたような気がします♪本当にありがとうございました！！

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。
　お礼をありがとうございます。

＞＞(a)x≧4、(b)x≧-3、(c)x＜-3
＞＞すると(b)の場合だけ、ｘに関する条件が消えて任意の実数ｘに対して成立することが分かります。そのときのａに関する条件を求めれば答えが得られます。
＞というのは理解できました。その後の方法がよくわかりません。。

　（ｂ）のｘ≧-3のとき左辺は-(x-4)+(x+3)=7となることから、元の不等式に戻ると、7≧aとなり、これがａの範囲になると思います。

＞また(2)の問題でβ＝４、δ＝５となっておりますがｙ＝４、ｘ＝５というのは考えなくてよろしいのでしょうか？？というか一方の範囲だけに解があるってことですよね？その場合、ｙ＝４、ｘ＝５に代入するってのはだめなんですか？

　ｙはどこから来たのでしょうか。ｙ＝４、ｘ＝５とされるのはどうしてでしょう。
　β＝４、δ＝５とした理由は、Ａ＝{ｘ|ｘ≦α、β≦ｘ}、Ｂ＝{ｘ|γ＜ｘ＜δ}、Ａ∧Ｂ={x|４≦ｘ＜５}を数直線上に描いてみると分かります。
　Ａ∧Ｂの下限の端点は等号を含んでおり（記号では●）、上限の端点には等号がありません（記号では○）。Ａ∧Ｂがこのような半開区間を取るためには、βがγとδの間にあり、β＝４、δ＝５でなければならないことが分かるからです。

Ａ＿＿＿－－－－－●＿＿＿＿＿＿●－－－－－－－－－－
Ｂ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿○－－－－－－○
Ａ∧Ｂ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿●－－○
－－－－－－－－－α－－γ－－－β－－δ－－－－－－－
(注)「＿」は無視してください。スペースの代わりです。
　　文字がずれない良い表記法があればいいのですが＾＾；

お礼

お礼遅くなり申し訳ございません。
おかげさまで１問目は理解できました！！ありがとうございます。

＞ｙはどこから来たのでしょうか。ｙ＝４、ｘ＝５とされるのはどうしてでしょう。

記入ミスしてしまいました！申し訳ございません。
α=4 , γ=5の間違いでた。
そこで、
Ａ＿＿＿－－－－－●＿＿＿＿＿＿●－－－－－－－－－－
Ｂ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿○－－－－－－○
この状態を
Ａ＿＿＿－－－－－●＿＿＿＿＿＿●－－－－－－－－－－
Ｂ＿＿＿＿＿○－－－－－－○
こういう状態を考慮する必要はないのですか？的なことを言いたかったのですが・・・理解できるでしょうか？
よろしくお願いいたします！