数学I 絶対不等式の問題

質問

御世話になっております。絶対不等式の問題

問 「すべての実数xについて(a-2)x^2+2(a-1)x+3a-5>0　が成り立つように定数aの値の範囲を求めろ」

の問題の考え方がよく解りません。そもそも、すべての実数xとは、この二次式のxの解が実数解であることをいっているのでしょうか？つまり、解が実数解である条件を満たす定数aを求めろ という事なのでしょうか。しかし、それだと判別式b^2-4ac≧0を立ててaについて解けば良いでしょうが、どうもそのようにも見えないのです。何かもっと奥深い事がありそうなのですが、よく解りません。

考え方だけでも良いので、アドバイスいただけると助かります

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>すべての実数xとは、この二次式のxの解が実数解であることをいっているのでしょうか？
全く的外れです。
xが、≪「-∞ ～ +∞」の範囲の全ての実数値≫をとるということです。

>解が実数解である条件を満たす定数aを求めろ という事なのでしょうか
全く的外れです。

不等式の左辺を
　y=f(x)=(a-2)x^2+2(a-1)x+3a-5
と置いたとき
　全ての実数x(-∞＜x＜+∞)に対して
　「y=f(x)のグラフが全てのxに対して、x軸の上方に存在すること」
　言い換えれば
　「２次の係数(a-2)＞0　かつ　y=f(x)の最小値＞0を満たすこと」
　あるいは
　「２次の係数(a-2)＞0　かつ　f(x)=0が実数解を持たないこと」
　つまり
　 「a＞2」かつ 「f(x)=0の判別式D/4=(a-1)^2-(a-2)(3a-5)＜0」…(★)
を満たすような aの範囲を求めれば良いということです。

(★)の不等式を満たす定数aの範囲を求めよ。ということです。

お礼

info22_様 いつも解りやすくご指摘下さりありがとうございます。
何度か問題解いて咀嚼しようと思います。ありがとうございました

回答No.5

wiz77wiz

左辺を A(x-P)^2+Q の形式に変換すれば
A>0 かつ Q>0 が条件になることが分かるはず

お礼

了解です。 ご回答ありがとうございました

回答No.4

tontonton

先ずは、与えられた不等式を左右辺で分けて考えてみましょう。

・ y=(a-2)x^2+2(a-1)x+3a-5=0 …(1)
・ y=0　…(2)

すべての実数x つまり xが -∞ から +∞ の間でつねに (1)>(2)となる条件を見つけることになります。
これは y軸方向で (1)のグラフが(2)のグラフ「x軸」の上にあることを意味します。

ここで(1)は二次関数ですので、そのグラフの形は大きく2種類となります。
・ 上に凸（xの値の増加により、-∞から徐々に増加し頂点を通過後下がり続ける）
・ 下に凸（xの値の増加により、+∞から徐々に減少し頂点を通過後上がり続ける）

上に凸であれば、xが-∞か+∞において必ず負数ですのでx軸より下となり題意を満たしません。
よって下に凸であることが１つ目の条件となります。

下に凸であっても、x軸よりも常に上である必要がありますので、(1)のグラフと(2)のグラフは「交差しない」＝「(1)と(2)」を同時に満たす実数xが存在しない」が２つ目の条件となります。

１つめの条件は 「x^2の係数」、２つめの条件は「判別式」から それぞれaの範囲が定まりますので、両方の条件を同時に満たす範囲が求めるaの範囲となります。

お礼

大変解りやすいアドバイスありがとうございました

回答No.3

asuncion

#2さんの解説でほとんど答えが出ているようなものですが、

＞判別式＜0も導けますか。

「も導ける」ではなくて、「しか考えてはいけない」のです。

お礼

了解しました

回答No.1

asuncion

その2次関数のグラフを考えてみましょう。
xy平面上にその2次関数のグラフを描いたとき、すべてのxについてyの値が必ず正になるということは、
そのグラフはx軸とどのような関係にあるでしょうか。

お礼

x切片がない、放物線とx軸との交点が無い。ということですね？ となると、判別式＜0も導けますか。う～ん…

二次式の値が0より大きくなるとき(当然数値の大きさを考えるには、xがとるのは実数でないといけない)、それを満たす定数aの値の範囲を求めろ、という事なのでしょうか……