関数解析関連の質問です。

質問

q∈C[a,b]とし、u∈C[a,b]に対して
Qu=q(t)u(t)(a≦t≦b)と定める。
このとき(1)Q∈L(C[a,b],C[a,b])
(2)||Q||=||q||_∞=max(a≦t≦b)|q(t)|
をそれぞれ示せ。

C[a,b]はf:[a,b]→K,f：連続写像を満たす写像全体の集合。
L(X,Y)はXからYへの有界線形作用素全体の集合です。
以下C[a,b]をXと表記します。

∀u∈Xに対してQu∈Xを示します。
示すといっても連続関数の合成は連続なのでOK。
よってQu∈XこれによってQ:X→Xが言えたことになる。
これで線形性はOK？

次にQ∈L(X)を示す。
∀t∈[a,b]に対して|Qu(t)|=|q(t)u(t)|≦|q(t)u(t)|
≦{max(a≦t≦b)|q(t)|}|u(t)|
でこの式の右辺が有界であることが示されれば
まず有界であることにより||Qu||_∞が有界となるので、
Q∈L(X)がわかり、同時に||Q||=||q||_∞が示されると思うのですが、
右辺が有界であることはどのように示されるのでしょうか？

回答No.5

einart

＞＃４　
　　なるほど、申し訳ありません。

回答No.4

oldperson

>#3 supＱ(u)　　｛q∈X｝　と混同していませんか？
いいえ sup|qu| {u∈X} は有界でないという意味です。

> sup|qu|　　　｛ｔ∈[a,b]｝　は有界です。
そのとおりです。
しかし、それは意味がありません。
求めようとしているのは |qu|/|u| {u∈X} の有界性
つまり、||Q||の存在であり、任意のuに対して
sup|qu|　｛ｔ∈[a,b]｝が有界であっても意味がありません。

回答No.3

einart

（1）damathの回答では　Ｑ(Ｘ)⊂Ｘ　を示したところで終わってます。Ｘ∋｛q(t)＝1｝　を用いて逆も示しましょう。

（2）手元にある1年生の時に買った教科書を見てください。コンパクト集合上の連続関数は云々・・
　　あとは作用素ノルムの定義からすぐに分かります。

最後に
　＞＃2　右辺(≦{max(a≦t≦b)|q(t)|}|u(t)|)は有界ではありません。(uを変化させた時)
supＱ(u)　　｛q∈X｝　と混同していませんか？
sup|qu|　　　｛ｔ∈[a,b]｝　は有界です。

お礼

お返事ありがとうございます。

自分は微積の基礎知識が不足してるようなので、
きちんと調べなおしてみようと思います。

回答No.2

oldperson

右辺(≦{max(a≦t≦b)|q(t)|}|u(t)|)は有界ではありません。(uを変化させた時)
従って、||Qu||_∞も有界ではありません。(uを変化させた時)

ただし、||Q||は有界になります。

つまり、|Qu(t)|を考えるのではなく、|Qu(t)|/|u(t)|を考えてください。

回答No.1

gururinbus

>これで線形性はOK？
単にQがX→Xへの写像ということがわかっただけで、
線形性　u,v∈X,λ,μ∈実数体,　Q(λu＋μv)＝λQ(u)＋μQ(v)が言えたわけではないのでダメなのではないかと思います。

まぁ、Q(λu＋μv)＝q(t)(λu(t)＋μv(t))＝λq(t)u(t)＋μq(t)v(t)＝λQ(u)＋μQ(v)だから明らかですが(^^;)

あと、L(C[a,b],C[a,b])をノルム空間として考えていると思うのですが、L(C[a,b],C[a,b])のノルムはどのように定義されているのでしょうか？

お礼

お返事ありがとうございます。

L(C[a,b],C[a,b])がノルム空間であるとは、問題文中では特に指定されていませんでした。
Qとqのノルムは共に
||Q||_∞=||q||_∞=max(a≦t≦b)|q(t)|で定義されていますが…。

ただこの問題の一つ前の問題ではL(C[a,b],C[a,b])のノルムは、
sup{||Tx||_Y/||x||_X ; x∈X,x≠0}と定義されています。