線積分の問題ですが、手がつけられません…。

質問

線積分の問題ですが、手がつけられません…。

R^2の各点(x,y)をf(x,y)=(u(x,y),v(x,y))∈R^2に写すC^1級写像f:R^2→R^2が、任意の(a,b)∈R^2に対して、
max{|u_x(a,b)|,|u_y(a,b)|,|v_x(a,b)|,|v_y(a,b)|}≦c
を満たすと仮定する。cは点(a,b)の選び方によらない正定数でc＜1/2をみたす。また各(a,b)∈R^2に対し、||(a,b)||=√(a^2+b^2)とおく。
(1)γ:[0,1]→R^2をγ(t)=(x(t),y(t)),t∈[0,1]で表される1対1のC^1級写像で、γによる区間[0,1]の像が、2点γ(0),γ(1)を結ぶ線分となっているものとする。次を示せ。
|u(γ(1))-u(γ(0))|≦∫√(u_x(γ(t))^2+u_y(γ(t))^2)√(x'(t)^2+y'(t)^2)dt (0≦t≦1)

(2)任意のP,Q∈R^2に対して||f(P)-f(Q)||≦2c||P-Q||を示せ。

(3)P_0をR^2の1点とし、点列{P_n;n=0,1,2,...}を
P_(n+1)=f(P_n),n=0,1,2,...
で定める。この点列がR^2の収束点列であることを示せ。

(1)はuとγがどのようにつながっているのかが分かりません。
(2)はノルムの処理がうまくいきません。
(3)は(2)を使う事はわかるんですが、ここもノルムから収束点列へ繋げられません。

よろしくお願いします。

回答No.1

fef · ベストアンサー

方針だけ書きます．

(1) 左辺を積分で表現すれば，
　　|u(gamma(1)) - u(gamma(0))|
　　= |int_0^1 (u_x(gamma(t)) x'(t) + u_y(gamma(t)) y'(t)) dt|
　　<= int_0^1 |u_x(gamma(t)) x'(t) + u_y(gamma(t)) y'(t)| dt
となりますね．
後は，被積分函数に関してSchwarzの不等式を使えばよいでしょう．

(2) ノルム ||*|| の定義より
　　||f(P) - f(Q)|| = sqrt(|u(P) - u(Q)|^2 + |v(P) - v(Q)|^2)
が成り立つことに注意して，不等式
　　|u(P) - u(Q)|^2 <= 2 c^2 ||P - Q||^2,
　　|v(P) - v(Q)|^2 <= 2 c^2 ||P - Q||^2
を示すことを考えます．
2点 P, Q を結ぶ線分をパラメタライズして gamma(t) を構成し，(1)の結果を用いましょう．
与えられた条件
　　max{|u_x(a,b)|, |u_y(a,b)|, |v_x(a,b)|, |v_y(a,b)|} <= c
を途中で使えば，示したい不等式が出てきます．

(3) R^2 空間が完備であることから，任意のCauchy列が収束することを示せばよいですね．
(2)の結果を用いれば，これを示すことができます．

お礼

ありがとうございました

回答No.2

fef

回答1の訂正です．

(3)の説明中の「任意のCauchy列が収束することを示せばよい」は，
「点列 {P_n} がノルム ||*|| に関してCauchy列であることを示せばよい」と読み替えてください．