順列・数え上げ

質問

よろしくお願いします。

ここに下のような390個の文字があります。
(A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M がそれぞれ10個ずつ、
N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z がそれぞれ20個ずつあります。)

この390個の文字から235文字を選んで一列に並べる方法は全部で何通りありますか。

A B C D E F G H I J K L M
A B C D E F G H I J K L M
A B C D E F G H I J K L M
A B C D E F G H I J K L M
A B C D E F G H I J K L M
A B C D E F G H I J K L M
A B C D E F G H I J K L M
A B C D E F G H I J K L M
A B C D E F G H I J K L M
A B C D E F G H I J K L M

N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z
N O P Q R S T U V W X Y Z

以下、私が考えたことを書きます。
この390個の文字から235個の文字を選ぶ組み合わせの総数は、
(Σ[k=0～10]x^k)^13*(Σ[k=0～20]x^k)^13
を展開したときのx^235の係数ですから、
23463540513956137996043929988 通りだということは分かります。
この23463540513956137996043929988 通りのそれぞれについて235個の文字
の順列(同種のものを含む順列)を数え上げれば答えは出ると思いますが、これは
あまりにも大変な作業です。
何かよい知恵はないでしょうか。

回答No.2

anaxagoras · ベストアンサー

＞この390個の文字から235文字を選んで一列に並べる方法は全部で何通りありますか。

全部で,
114935619703773256655403648405713213597147824501896150245159158397048993
499649185980674182784044508031176969290354598775395712763934321473809392
385987479597538185039796268797555013411230459855925576551612123345896129
381784651462824290534564852808311763331992530544948351675144361835278900
0281895601928204616671994296158720000000000
通りある.

非負整数nに対し,xのn次多項式p(n)を次式で定める.

p(n)=Σ[k=0 to n]x^k/k! (例：p(3)=1+x+x^2/2+x^3/6).

235!*(p(10)^13)*(p(20)^13)を展開したときのx^235の係数が求める値.

お礼

回答していただき、ありがとうございます。
なるほど、こういう数え上げ方があるのですね。
勉強になりました。

回答No.1

eatern27

どの程度の精度で知りたいのか分かりませんが、数桁程度の誤差を考えないとしたら、10^330通り程度って感じかなあ。
※少なくとも、10^326通り以上で10^340通り以下というのは間違いありません。

上限の10^340通りというのは、
>23463540513956137996043929988 通り
のうち、並べ方の総数が最大となるのは、Ａを１０個、Ｂ～Ｚを９個並べる場合の、4×10^312通りです。こいつと、
>23463540513956137996043929988 通り
を掛け合わせたのが10^340通りです。

下限の10^326通りは次のようにして出したものです。
n文字使うアルファベットがa_n種類あるとします。設定から、
Σ[n=0 to 20]a_n ＝ 26
Σ[n=11 to 20]a_n ≦13
Σ[n=0 to 20]n * a_n ＝235
でなければなりません。
いくつかのa_1～a_nの組み合わせについて、一列に並べる方法の総数を求めてみたところ、例えば、
a_5=a_13=a_14=1
a_6=a_11=a_12=2
a_7=a_8=a_10=4
a_9=5
それ以外はゼロ
の時に5×10^325通りという例がありました(これより多い例は見つかりませんでした)

10^325通り程度を与える{a_n}の組は他にもたくさんあるので、少なくとも10^326通りはあるという感じです。

お礼

丁寧に回答していただき、ありがとうございます。
参考になりました。