線積分の問題です。

質問

線積分の問題です。
(x,y)をf(x,y)=(u(x,y),v(x,y))∈R^2に写すC^1級写像f:R^2→R^2が、任意の(a,b)∈R^2に対して、
max{|u_x(a,b)|,|u_y(a,b)|,|v_x(a,b)|,|v_y(a,b)|}≦c
を満たすと仮定する。cは点(a,b)の選び方によらない正定数でc＜1/2をみたす。また各(a,b)∈R^2に対し、||(a,b)||=sqrt(a^2+b^2)とおく。
γ:[0,1]→R^2で
|u(γ(1))-u(γ(0))|≦int_0^1{sqrt(u_x(γ(t))^2+u_y(γ(t))^2)sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)}dtは成立している

任意のP,Q∈R^2に対して||f(P)-f(Q)||≦2c||P-Q||を示せ。

という問題で、
||f(P)-f(Q)||=sqrt(|u(P)-u(Q)|^2+|v(P)-v(Q)|^2)
となり、それぞれ
|u(P)-u(Q)|^2≦2c^2||P-Q||^2
|v(P)-u(Q)|^2≦2c^2||P-Q||^2となればよいので、
p,q∈[0,1],γ(p)=P,γ(q)=Qとおくと
|u(P)-u(Q)|≦int_q^p{sqrt(u_x(γ(t))^2+u_y(γ(t))^2)sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)}dtとなる。
この不等式をcと||P-Q||だけで表したいのですが、どうすればよいですか？

よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

γ:[0,1]→R^2で
max{|u_x(γ(t))|,|u_y(γ(t))|,|v_x(γ(t))|,|v_y(γ(t))|}≦c
|u(γ(1))-u(γ(0))|≦∫_{0～1}{√(u_x(γ(t))^2+u_y(γ(t))^2)√(x'(t)^2+y'(t)^2)}dt
|v(γ(1))-v(γ(0))|≦∫_{0～1}{√(v_x(γ(t))^2+v_y(γ(t))^2)√(x'(t)^2+y'(t)^2)}dt
が成立しているならば
γ:[0,1]→R^2,γ(t)=(x(t),y(t))=P+t(Q-P),とすると
γ'(t)=(x'(t),y'(t))=Q-P
||γ'(t)||=√(x'(t)^2+y'(t)^2)=||Q-P||
max{|u_x(γ(t))|,|u_y(γ(t))|,|v_x(γ(t))|,|v_y(γ(t))|}≦c
だから
||f(P)-f(Q)||
=√(|u(P)-u(Q)|^2+|v(P)-v(Q)|^2)
≦√(∫_{0～1}{√(u_x(γ(t))^2+u_y(γ(t))^2)√(x'(t)^2+y'(t)^2)}dt)^2
+(∫_{0～1}{√(v_x(γ(t))^2+v_y(γ(t))^2)√(x'(t)^2+y'(t)^2)}dt)^2)
≦√(∫_{0～1}{√(c^2+c^2)||Q-P||dt)^2+(∫_{0～1}{√(c^2+c^2)||Q-P||dt)^2)
≦√((c√2||Q-P||)^2+(c√2||Q-P||)^2)
=2c||Q-P||

お礼

理解できました。
ありがとうございました。