非線形拡散方程式の初期値問題の解の評価について

質問

u=u(x,t)として、次の初期値問題を考えます。ただし、tは[0,∞）の範囲を動くものとします。
u_t = u_xx + f(u) where f(u) = u(1-u^2)
u(x,0) = a(x)

u(x,t),a(x)は有界連続な関数とします。このとき、u(x,t)の絶対値の評価が知りたい
（例えば、|u(x,t)|<=|| a ||_∞←∞ノルム）のですが、どのようにすればいいか分からず困っています。
確かに、縮小写像で局所解を構成することはできるのですが、その後が？な状態になっています。
道筋だけで結構ですので、ヒントをいただけると幸いです。

回答No.2

stomachman

ANo.1の続き。

面白くなるのは、aが正負に振れている場合。u=1の領域とu=-1の区域ができてフラストレーションが生じ、互いにせめぎ合うことになるんじゃないかな。

回答No.1

stomachman

まずは、大雑把に振舞いを考えてみたらどうだろう。
　u - u^3　というのは、|u|=0の時は効かないけれども、|u|がある程度大きくなるともっと大きくしようとするフィードフォワードが働き、しかしある限度を越えるとフィードバックが掛かって大きくならないように抑える、というポテンシャルみたいなもんだろう。そう思ってみると、初期値がどうあれ、|u|がある一定値に近づいて行くのは間違いなさそうだ。ある一定値ってのは、もちろん u - u^3 = 0 となる|u|=1のところ。言い換えると、拡散項のせいで（aがどうあれ）tがある程度大きくなったらu_xx≒0になるだろうな、と思えば、そうなった後は拡散項を無視して
　　u_t = u - u^3
だから、|u|は結局1になる。Cが（つまりu_xx≒0になったときの|u|が、さらに言い換えれば|a|が)小さければ|u|→1になるのに時間が掛かるけれども。

お礼

ありがとうございます。考えて見ます。