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線形化 状態方程式
非線形システムdx/dt=f(x,u), f(x,u)=(2・x1・x2＋u ,x1+x2^2)T x=(x1,x2)T テーラー展開一次近似により、平衡点(x',u'), x'=(x1',x2')T に関して局所線形化したX=x-x',U=u-u'に関する状態方程式 dX/dt=AX+BUを求めよ。 上記の問題で平衡点をx0=(-1,1)T u0=2としてその近傍でテーラー展開しようとしたのですが、AとBの計算の仕方がわかりません。 お手数ですが、教えていただけないでしょうか？ 似たような問題があるサイトがあれば教えてください
- dis-k
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x がベクトルで、u がスカラーなんですね。 ややこしいですね。 f(x,u) の成分を、 y1 = 2・x1・x2 + u, y2 = x1 + (x2)^2. と置いて、スカラーの計算に統一してみましょう。 y1, y2 のそれぞれを、(x1', x2', u') において一次テーラー近似して、 y1 = y1' + (∂y1/∂x1)(x1 - x1') + (∂y1/∂x2)(x2 - x2') + (∂y1/∂u)(u - u') = 0 + (2・x2') X1 + (2・x1') X2 + 1・U, y2 = y2' + (∂y2/∂x1)(x1 - x1') + (∂y2/∂x2)(x2 - x2') + (∂y2/∂u)(u - u') = 0 + 1・X1 + (2・x2') X2 + 0・U. これを f(x,u) = (y1,y2)T と睨み合わせて、 Ａは４×４行列 2・x2' 2・x1' 1 2・x2' Ｂはベクトル (1,0)T です。 ところで、平衡点は、(-1, 1, 2) だけでなく、 任意の (-(u/2)^(2/3), (u/2)^(1/3), u) ですよ。
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