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非線形微分方程式の特異点
次の連立微分方程式について回答お願いします dx/dt = -x+y dx/dt = 2x+1-e^y 1,特異点を求める 2,特異点の近傍でe^yを一次の項まで近似し、方程式を線形化 3,線形化した方程式をベクトル表示 4,特性方程式(固有方程式)を解き、固有値を求める 5,この連立方程式の特異点のタイプは何か
- tanakatanaka721
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問題の誘導どおりに計算してゆくだけですが、 どこまでできて、どこで詰まりましたか? まず、特異点は、x'=y'=0 の解です。 式を変形して、x=y ∧ 2x+1=exp(x) を 解けばよいことになります。 解は、x=0 と、1<x<2 の範囲に一個の 計二個ありますが、正のほうの解は、 解析的には表示できません。 とりあえず、それを x=c と置いておきます。 x=y=0 の特異点は簡単です。ここでの線型化が x'=-x+y, y'=2x+1-(1+y) になりますから、 行列 -1 1 2 -1 の固有値が 1±√2 で、符号 (+,-) のため、 この特異点は「鞍状節点」です。 x=y=c の特異点は、少し面倒臭い。 ここでの線型化は、exp(y)=exp(c)exp(y-c) ≒exp(c)(1+(y-c))=(2c+1)(y-c+1) と近似して、 (x-c)'=-(x-c)+(y-c), (y-c)'=2(x-c)-(2c+1)(y-c) となりますから、 行列 -1 1 2 -(2c+1) の固有値 -(c+1)±√(cc+1) の符号を調べます。 1<c より、固有値の符号は (-,-) と判り、 この特異点は「安定節点」です。
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