この熱伝導方程式の問題を教えて下さい。

質問

∂u/∂t=c^2・∂^2u/∂x^2・・(1)
u(x,0)=f(x)・・(2)
u(-L,0)=u(L,t)=0・・(3)
という問題です。
自分でやってみたのですが、途中で解けなくなりました。
(3)の条件で困っています。
分かる方、お願いいたします。
以下、途中までの回答です。(省略してる所あります)

u(x,t)=F(x)G(t)として、xとtだけの関数の作る。
(1)に当てはめると
G'(t)/(c^2G(t))=F''(x)/F(x)
という式が成立。左辺がt、右辺がxだけの関数なので両辺とも定数でないといけない。
定数kを用いて、
G'(t)/(c^2・G(t))=F''(x)/F(x)=kと置く。
k>0,k=0の時、計算するとu(x,t)=0となってしまうのでダメ。
k<0の時、k=-a^2(a>0)とするとA,Bを定数として
F(X)=Acos(ax)+Bcos(ay)。

ここからが分からないんです。
(3)の条件からaの値を求め、フーリエ級数を用いて解を出そうと思ったのですが、
(3)のF(-L)=F(L)=0からはaが求まらず、AかBどちらかだけが=0という事しか分かりませんでした。
A=0の時、B=0の時と場合分けして解を出したら良いのでしょうか？
それとも別の方法があるのでしょうか？
長くなってすいません、お願いいたします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

F(x)=Acos(ax)+Bcos(ay)
ではなく

F(x)=Acos(ax)+Bsin(ax)
です

∂u/∂t=c^2・∂^2u/∂x^2・・(1)
u(x,0)=f(x)・・(2)
u(-L,0)=u(L,t)=0・・(3)

u(x,t)=F(x)G(t)
G'(t)/{(c^2)G(t)}=F"(x)/F(x)=kと置く
k<0の時,k=-a^2(a>0)とすると
F"(x)/F(x)=-a^2
F"(x)=-(a^2)F(x)
F"(x)+(a^2)F(x)=0
の解は
F(x)=Acos(ax)+Bsin(ax)

G'(t)/{(c^2)G(t)}=-a^2
G'(t)/G(t)=-(ac)^2
の解は
G(t)=Ce^{-t(ac)^2}

CAをA,CBをBに置き換えると

u(x,t)={Acos(ax)+Bsin(ax)}e^{-t(ac)^2}

u(-L,0)=0=
Acos(aL)-Bsin(aL)=0…(4)

u(L,t)={Acos(aL)+Bsin(aL)}e^{-t(ac)^2}=0
Acos(aL)+Bsin(aL)=0…(5)
(4)+(5)から
Acos(aL)=0
(nは任意整数とすると)
A=0又はaL=(2n+1)π/2
だから
A=0又はa=(2n+1)π/(2L)

(5)-(4)から
Bsin(aL)=0
(nは任意整数とすると)
B=0又はaL=nπ
だから
B=0又はa=nπ/L

B=0の時A=0の時u(x,t)=0となるから
a=(2n+1)π/(2L)だから

u(x,t)=Acos{(2n+1)πx/(2L)}e^[-tc^2{(2n+1)^2}π^2/(4L^2)]

a=nπ/Lの時n≠n+(1/2)だからA=0だから

u(x,t)=Bsin(nπx/L)e^{-t(c^2)(n^2)(π^2)/L^2}

∴nを任意整数とすると
u(x,t)=Acos{(2n+1)πx/(2L)}e^[-tc^2{(2n+1)^2}π^2/(4L^2)]
又は
u(x,t)=Bsin(nπx/L)e^{-t(c^2)n^2(π^2)/L^2}

お礼

助かりました!