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変数分離(フーリエ級数の利用)
∂^2u/∂t^2=c^2*∂^2u/∂x^2 u(0,t)=0,u(L,t)=0 (すべての時間tに対して) u(x,0)=f(x) ∂u/∂t|t=0(t=0での速度)=g(x) u(x,t)=F(x)G(t) ∂^2u/∂t^2=F*G'' ∂^2u/∂x^2=F''*G FG''=c^2*F''*G G''/(c^2*G)=F''/F=k(定数) F''-k*F=0……(1) G''-c^2*k*G=0……(2) (i)(1)の解を求める G(t)≣0(≣は、3本線のイコールです) u(x,t)=0 u(0,t)=u(L,t)=0 G(t)≠0(≠は、3本線のイコールの否定です) F(0)=F(L)=0……(3) k<0のとき、k=-p^2とおく F''-p^2*F=0 F=exp[m*x]とおく m^2+p^2=0 m=±pi F''+α*F'+β*F=0 α^2-4*β=-4*p^2<0 F(x)=A*cos(p*x)+B*sin(p*x) F(0)=A=0 F(L)=Bsin(p*L)=0 B≠0でなければならない。 sin(p*L)=0 p*L=n*π(nは整数) p=n*π/L したがって、 F(x)=B*sin(n*π*x/L)……(4) n<0のとき m=-n F(x)=-B*sin(m*π*x/L) n=0のとき F(x)=0 nは自然数 なんで、nは自然数でなければいけないんでしょうか？ n<0ではいけないんでしょうか？ 教科書に、 (4)は式(3)を満たす。 sin(-α)=-sin(α) であるので、nが負の整数のときには、式(4)の解の符号が変わるだけで同じ解が得られる。 とあります。 教科書と言っていることが逆のような気がします。 n<0のときも解でいいんでしょうか？ これは、調和振動のことについてらしいんですが、教科書には、nが自然数のときの図しか書いてありませんでした。 なんで、n<0のときの図がないのか不思議です。 教科書が、矛盾しているんでしょうか？ また、 G(t)≣0 は、すべてのtに対して0ということを言いたいんでしょうか？
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- yurih
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波動方程式は線形ですよね。（解がベクトル空間になっている） 符号を変えたものというのは、単なる定数倍であって、ベクトルとしては 平行です。 解として重要なのは一次独立なもの（解の空間を張るベクトル） だけなので、平行なベクトルを考えることにあまり意味はないという ことでしょう。
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