偏微分方程式（その２）

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=104706
の続きです。

『(2) (**)式で次の形の解を求めよ。
φ(x, t) = Φ(ξ), ξ = x - ct
ここで、cは正の定数で、Φ(ξ)のξ = 0における条件が次のように与えられている。
Φ(ξ = 0) = 1, (dΦ)/(dξ)|_ξ=0 = -c/(2ν)』

一応解けたつもりなので添削をお願いします。

∂φ/∂t = Φ'(ξ)(∂ξ)/(∂t) = -cΦ'(ξ)
∂φ/∂x = Φ'(ξ)(∂ξ)/(∂x) = Φ'(ξ)
∂^2φ/∂x^2 = Φ''(ξ)(∂ξ)/(∂x) = Φ''(ξ)
よって(**)式より
Φ''(ξ) = -(c/ν) Φ'(ξ)
両辺を積分して
Φ'(ξ) = -(c/ν) Φ(ξ) + d （dは定数)
初期条件Φ(0) = 1, Φ'(0) = -c/(2ν) より d = c/(2ν)
よって
Φ'(ξ) = -(c/ν) Φ(ξ) + c/(2ν)
この非斉次方程式に対応する斉次方程式
Φ'(ξ) = -(c/ν) Φ(ξ)
の解はΦ(ξ) = e^{-(c/ν)ξ}なので上非斉次方程式の解を
Φ(ξ) = f e^{-(c/ν)ξ} + g （f, gは定数)
とおくと
f(c/ν) e^{-(c/ν)ξ} = -(c/ν){f e^{-(c/ν)ξ} + g} + c/(2ν) ∴g = 1/2
Φ(ξ) = f e^{-(c/ν)ξ} + 1/2
初期条件Φ(0) = 1よりf = 1/2、よって求める解は
Φ(ξ) = (1/2)[e^{-(c/ν)ξ}]

合ってますでしょうか？

回答No.1

noname#2380 · ベストアンサー

ｂｌｕｅ＿ｍｏｎｋｅｙです。
計算内容・結果は問題ないようです。
蛇足コメントをさせていただきます（読み捨ててください。）。
(1)
最後の最後で
Φ(ξ) = (1/2)[e^{-(c/ν)ξ}]
と記述されていますが、1/2を書き落とされているようです。
(2)
**************************************************
Φ'(ξ) = -(c/ν) Φ(ξ) + c/(2ν)
この非斉次方程式に対応する斉次方程式
Φ'(ξ) = -(c/ν) Φ(ξ)
の解はΦ(ξ) = e^{-(c/ν)ξ}なので上非斉次方程式の解を
Φ(ξ) = f e^{-(c/ν)ξ} + g （f, gは定数)
とおくと
**************************************************
上記の記述ですが、ψ(ξ)=Φ(ξ)-0.5として
ψ'(ξ)=-(c/ν)*ψ(ξ)
この偏微分方程式の解は、
ψ(ξ)=f*exp(-(c/ν)*ξ)
となり、
Φ(ξ)=0.5+f*exp(-(c/ν)*ξ)
として、初期条件からfの定数を決めるというほうが自然なような気がします。

非線形偏微分方程式を変数変換で線形偏微分方程式にして、解こうという
問題だったんですねぇ～。

誤記・誤解がありましたらゴメンナサイ。

お礼

ありがとうございます。
おかげでちょっと自信がついてきました。
ところで最後の(3)が曲者で問題の意図が良くつかめません。
別質問でなげますのでまたお付き合い頂けますでしょうか？