微分方程式の問題で、もう一問質問です。

質問

微分方程式の問題で、もう一問質問です。

aを実数の定数とする。
条件u（０）＝１、u’（０）＝aを満たす微分方程式

u”（x）＋（１－x＾２）u（ｘ）＝０

の解u（ｘ）に対して

ｆ（ｘ）＝u’（ｘ）＋ｘu（ｘ）

とおく。

（１）ｆ（０）を求めなさい。
（２）ｆ’（ｘ）－ｘｆ（ｘ）＝０が成り立つことを示しなさい。
（３）ｆ（ｘ）を求めなさい。
（４）解u（ｘ）がすべてのｘに対して正の値をとるものとする。このとき、定数aの値と対応する解u（ｘ）の組を求めなさい。

という問題です。

（１）、（２）、（３）は解けたのですが、（４）の解き方がわかりません。

よろしくお願いします。

複素関数1問と微分方程式2問、続けて質問させていただきました。
ご教授願います。

回答No.1

muturajcp

u(0)=1, u'(0)=a
u"(x)+(1-x^2)u(x)=0
f(x)=u'(x)+xu(x)
(1)
f(0)=u'(0)=a
(2)
f'(x)-xf(x)=u"(x)+u(x)+xu'(x)-x(u'(x)+xu(x))=u"(x)+(1-x^2)u(x)=0
(3)
f'(x)/f(x)=x
logf(x)=x^2/2+c1
f(x)=ce^{x^2/2}
f(0)=c=a
f(x)=ae^{x^2/2}
(4)
u'(x)+xu(x)=ae^{x^2/2}
u(x)=e^{-x^2/2}[a∫_{0～x}e^{x^2}dx+c]
u(0)=c=1
u(x)=e^{-x^2/2}[a∫_{0～x}e^{x^2}dx+1]
a>0ならば∫_{0～-1/a}e^{x^2}dx≦-1/a
u(-1/a)=e^{-(1/a)^2/2}[a∫_{0～-1/a}e^{x^2}dx+1]≦0
a<0ならば∫_{0～-1/a}e^{x^2}dx≧-1/a
u(-1/a)=e^{-(1/a)^2/2}[a∫_{0～-1/a}e^{x^2}dx+1]≦0
↓
a=0
u(x)=e^{-x^2/2}