次の微分方程式について

質問

次の問題について考えたいと思います。

「次のPDE

・ Vt=Vxx＋x/2・Vx＋V/2 x∈{x>0} , t>0
・ V(x,0)=f(x) x∈{x>0} , t=0
・ V(0,t)=g(t) , Vx(0.t)=h(t) x=0 ,t>0
に関して(・は掛け算の意味、Vtはtについての導関数、Vxはxについての導関数) f∈C^2({x>0})
かつ、g,h∈C^1({t>0})
のとき、解Vについて考えているのですが、これは既に解の性質として知られていますか？または解Vは解くことができますか？　」

これは熱方程式にx/2・Vx＋V/2が加わったものなので、単純に見えるのですが。
ちなみに変数分離型で
V=a(t)b(t)とすると
　　　　a(t)=e^tでbは
　　　　　　b''(x)＋x/2・b'(x)-b(x)/2 =0
の解が得られるので、もしf(x)がb(x)ならばokですが、一般にf(x)は任意に与えるのでこれでは分からないと思います。問題はf(x)を任意に与えたときに解がどうなるかを使ってぜひ考えてみたいと思いますが、これが既に知られているかどうか気になるのでお願いします

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

こんばんは。

☆これは既に解の性質として知られていますか？または解Vは解くことができますか？
◇性質について知られているかどうかは知りませんが、
コンピュータによる近似計算で解けることをもって、解けるというのであれば、
まぁ、大概の場合は、解くことができます。

解析的に解を求められるのか、解析解が得られるのかといえば、
よほど簡単な場合を除き、
まず無理でしょう。

☆　b''(x)＋x/2・b'(x)-b(x)/2 =0
◇この微分方程式については、
b(x) = Σa(k)x^kと置いて、x=0まわりの級数解を求めてみては。
　───これについては、数学の微分方程式の本などを見てください───
級数の項別微分が可能であるとして、計算し、
係数を比較すれば、
級数解は求まると思いますよ。

ですが、
この熱伝導問題は、
やはり、コンピュータによる近似計算による解法がベストでしょう。
数値解析の本などに熱伝導方程式の数値解法が載っているので、それを参考になさったら。
プログラムを作ってしまえば、よほど変なものでないかぎり、コンピュータが勝手に解いてくれますよ。
コンピュータという便利なツールがあるのに、これを使わない手はないと思いますよ。