- ベストアンサー
バネと微分方程式の問題 - 初期条件から解の求め方を教えてください
- 大学1年の物理演習で、微分方程式を扱っている際に分からない部分があります。問題は、自然長lとばね定数kの二本のバネと質量mのおもりを用いた装置において、おもりの位置xを求めるというものです。具体的な解法について教えてください。
- おもりを引き上げる速度vでの運動方程式が与えられており、それを解く必要があります。運動方程式は mx' = k(y-2x) で与えられます。この式を整理して解く手順について説明してください。
- 解きたい運動方程式は x'' + (2k/m)x = (kv/m)t という形になります。この式を解くためには、まず右辺が0のときの解と右辺が0でないときの解を求める必要があります。それぞれの解の求め方について教えてください。
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
関連するQ&A
- バネの微分方程式を解く問題。
大学の物理の問題です。 途中まで解けたのですが、3番目の設問がわからず解けません。教えてください。 問題は次の通りです。 バネが垂直に垂れていて、その先端に質量mの物体がついています。バネの強さはk、重力定数をgとし、z軸を下向きにとり、物体の位置の座標をzとして次の問題に答えてください。 (1)物体mの運動方程式を書く。 (2)この運動方程式は z=y+aと置き換えることにより、yに対する簡単な方程式になることを示す。このときのaはいくらか。 解)z=a は重りのない場合の平衡点。 重りをつけた時、釣り合いの状態は平衡点からaだけ下がっているとする。 z=a の時、mg=ak よって、a=mg/k ここで、運動方程式は m(d^2z/dt^2)=-kz+mg=-kz+ak=-k(z-a) z=y+a すなわち z-a=y と置き換えると m{d^2(y+a)/dt^2}=-kz (3)yの微分方程式を解き、yを求める。ただし、初期値として、t=0 で y=b, dy/dt=0 とする。 この解がわかりません。教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 微分方程式の問題で
微分方程式の問題で 「a,bが任意定数のとき、次式が一般解になるような最小階数の微分方程式を示せ。 y = ax^2 + 2bx」 の答えがわかりません。 答えは一階の微分方程式で (dy/dx) + y = ax^2 + 2(a+b)x +2b となるのか 二階での微分方程式で x^2 * y" - 2xy' +2y = 0 となるのかで迷っていて、 一階の微分方程式が特殊解なのか一般解なのかの判断がつかないと言う状況です。 というのも教科書には 「限定状況を与えなければn階の微分方程式にはn個の任意定数を含む」 とあるのですがこの限定条件がわからなくて判断がつきません。 どちらが正しいのでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 偏微分方程式のラプラス変換による解法
皆様よろしくお願いいたします。 関数u(x,t)のtに関する偏微分∂u/∂t=u_t、とxに関する2回偏微分∂^2 u/∂x^2=u_xxとおくとき 偏微分方程式 u_t = a*u_xx (aは正の定数) 初期条件:u(x,0) = 0 境界条件:∂u/∂x = u_x = -k (kは正の定数) lim[x→∞]u(x,0) = 0 をラプラス変換して解を求めようとしてますが、ラプラス変換した式が導けません。 偏微分方程式の解は分かっていているので、解をラプラス変換すると答えは次式になるようです。 U(s,x) = k√a・exp( -x*√(s/a) ) / s^(3/2) どのように導けばこうなるのかご教示ください。 ちなみに偏微分方程式の解は次式になります。(上式に入れて成り立つことを確認済み) u(x,t)=2k√(at/π)・exp(-x^2/(4at)) - kx・erfc(x/√(4at)) (※erfcはガウスの余誤差関数です) 【途中までやってみた計算経過】 偏微分方程式を→s、x→yへそれぞれラプラス変換して整理すると U(s,y)=ak/{y(y^2-s/a)} となりました。これをy→xへラプラス逆変換すると U(s,x) = -ka^2/s + ( ka^2/(2s) ) exp(-x√(s/a) ) + ( ka^2/(2s) )exp(x√(s/a) ) となり、答えになりません。 しかもこれだと3項目が境界条件lim[x→∞]u(x,0) = 0に従わず∞に発散してしまいます。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式の解き方を教えてください
y''+y=1/cosx という微分方程式の同次方程式y''+y=0の一般解は y=Acosx+Bsinx (A,Bは任意定数) ですが、特殊解の解き方が分かりません。 もし(右辺)=cosxなら逆演算子を使ってすぐに解けるのですが、(右辺)=1/cosxとなると分かりません。ご存知の方、お手数ですが教えてください。よろしくお願いします。 ※ y''=d^2y/dx^2
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 減衰振動の微分方程式の解
先生から配られたプリントには減衰振動の微分方程式が「m(dx/dt)^2+2γ・dx/dt+ω^2x=0」の時、解が「x=A・EXP(-γt)cos(ω´t+φ)」って書かれてます。 摩擦:гならг/m=2γ、バネ定数:kならk/m=ω^2、A=√C1^2+C2^2、φ=C1/C2、ω´^2=ω^2-γ^2です。 解の式で、cosじゃなくてsinではないのですか?単振動・強制振動の場合も同様にcosでした。 誰かよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 微分方程式
微分方程式の勉強をしているのですが、 本の微分方程式を解く例題で y''-2y'+y=xe^x 特性方程式s^2-2s+1=0は2重解s=1をもつ。これより補助方程式の一般解は y=e^x(Ax+B) である。 与方程式の右辺を微分して生ずる関数は、xe^x,e^xであるが、これらは 上の一般解に含まれている。このような場合特殊解を求めるために、xe^xに特性方程式の解1の重複度2だけxをかけて、 y1=ax^3e^xとおくと y1'=a(x^3*e^x+3x^2*e^x),y1''=a(x^3*e^x+6x^2*e^x+6xe^x) これらを与方程式に代入すると6axe^x=xe^xよりa=1/6 よってy=e^x(Ax+B+x^3/6) とあるのですが、上文にある重複度っていうのがわかりません。 例えば、特性方程式の解が2±i(虚数解)で、これより 補助方程式の一般解はy=e^(2x)(Asinx+Bcosx) 与方程式の右辺がe^(2x)のときの重複度はどうやって考えれば いいでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式を用いてた振動モデル
振動モデルの条件下で各モデルを図示し微分方程式をたて、数値解を求める。 バネ定数2N/mのバネに、質量1kgのおもりがつり下げられている。これを3N・s/mの抵抗のある媒質の中に入れ、おもりが停止した状態から下に0.5m引いて放すとする。おもりはどんな運動をするか。 教えてください。
- 締切済み
- 物理学
- ME-90のMacOS用ドライバーがBig Sur以降のものしかないのですが、Boss Tone Studio for ME-90は、MacOS10.15 (Catalina)では動かせないのでしょうか?
- ME-90のMacOS用ドライバーが問題になっています。Boss Tone Studio for ME-90は、MacOS10.15 (Catalina)では利用できないのでしょうか?
- ME-90のMacOS用ドライバーに関して質問があります。Boss Tone Studio for ME-90は、MacOS10.15 (Catalina)では使用できないのでしょうか?
お礼
原点をおもりの初期位置にしてみたところ、(X=l+(mg/k)+vt) 結局運動方程式は同じになってしまいましたが… でも、x'(0)=0をヒントに定数が求められました!(おもりは突然動き出すわけじゃないんですよね) 結果は、 x(t)=(t-(m/2k)^(1/2)sin{(2k/m)^(1/2)}t)v/2 となりました。分かりにくい式でごめんなさい。 これなら、おもりがはじめに沈み込むこともないし、とりあえずは辻褄が合ったと思います。 ありがとうございました。