微分方程式について

質問

よく微分方程式を解いていると、右辺と左辺両方に求めたいf(x)やyが残ったものが解になったりします。

それはf(x)を求めたいのに右辺にも残ることは解として認められるのでしょうか。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

補足拝見しました．
どうも前の回答は少し舌足らずでした．
(1)　　f(x) = {x と f(x) を含んだ式}
は
(1')　　f(x) = {x と f(x) の微分や積分を含んだ式}
としないといけませんでした．

(a)　　y=A×e^(-y/x)
でしたら，解と言えます．
つまり，右辺には y=f(x) の微分や積分が入っていません．
残念ながら(a)を
(b)　　y = {x のみの式}
と初等関数の範囲内で書き直すことは出来ませんが，
y = f(x) は微分積分を含まない(a)できちんと定義されていますので，
立派な解です．

なお，ランベルトのＷ関数といわれる特殊関数を使いますと，
(a)を(b)の形に書き直すことができます．

回答No.2

info22_

f(x)= ...
や
y=f(x)
の形に解ければ、それに越したことはないですが、解が陰関数の形で求まる場合もあるので、
その場合は、解に微分項が残っていない方程式であっても、出来るだけその方程式を整理した式にして
解としても問題ないです。

例 (解の方程式が陰関数になる例)

微分方程式　yy'=-x, y(0)=2を解け。
ydy=-xdx
y^2/2=-x^2/2+C^2(C>0)
x^2+y^2=2C^2
y(0)=2より C=√2)
故に
x^2+y^2=4 ←微分方程式の解

回答No.1

siegmund

(1)　　f(x) = {x と f(x) を含んだ式}
では通常の意味では解とは認められません．
右辺は x のみの式(もちろん，未知定数は含んでいて良い)でなければいけません．
(2)　　f(x) = ∫{0→x} e^(-x^2) dx + C
みたいに積分など含んでいてもＯＫです．
ただし
(3)　　f(x) = 1 + ∫{0→x} e^(-y^2) f(y) dy
の類はダメです．
つまり，x を具体的数値に指定すれば左辺の f(x) が計算できるような
式になっていないとダメです．

「通常の意味では」と書いたのは，
ときどき(3)の類を「形式解」などということがあるからです．

補足

たとえば、dy/dx=(x-y)/(x+y)の解は

y=A×e^(-y/x)みたいなときのことです。