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微分方程式の問題ですが・・

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定数係数微分方程式
y''+ay'+by=0の二つの解u(t),v(t)に対してある定数Cが存在してu'v-uv'=Ce^-atガ成り立つこと証明せよ。と関数 u(t),v(t)のロンスキアンをW(u,v)とする。R上でW(u,v)≡0を満たす一次独立な関数 u(t),v(t)の例をあげよ。なんですがさっぱり・・・。どなたかお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル12

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問題を誤解していました.
後半の問題は前半の微分方程式と関係なくて良ければ
t>=0 で u=0, v=t^2
t<0 で u=t^2, v=0
という有名な(?)例でいいのでしょうね.

これまでの回答のうち, 質問の後半部分に該当する部分はすべてお詫びして撤回させていただきます.お騒がせしました.
なお,前半の微分方程式の解でしかもW(u,v)≡0を満たす...となると,わかりません.2回微分まで連続にすると,t^3ぐらいを使えばできるのでしょうか.

その他の回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル12

ベストアンサー率 50% (374/740)

y''+ay'+by=0の2解がu(t),v(t)より
u''+au'+bu=0・・・(1)
v''+av'+bv=0・・・(2)
(1)*v-(2)*uより
u''v-uv''+a(u'v-uv')=0
z=u'v-uv' とおくと z'=u''v-uv'' より
z'+az=0 <==> z'=-az <==> z=Ce^(-at)

後半はy''+ay'+by=0でy=e^(λt)と置いて代入, 整理して
λ^2+aλ+b=0
この2次方程式がD≠0のとき,相異なる2解α,βにより u=e^(αt), v=e^(βt).
D=0のとき,重解αを用いて, 1次独立な解 u=e^(αt), v=te^(αt).
  • 回答No.3
レベル12

ベストアンサー率 50% (374/740)

「線形微分方程式の1次独立な解から作ったロンスキアンは0にならない」
(1次独立でなければ恒等的に0)なので, 元の微分方程式の1次独立な解でW(u,v)=0というのは無理なようですね. 先の記述「t^3ぐらいを...」は誤りでした.
お礼コメント
MANIFEST

お礼率 12% (8/66)

返事が遅くなってすいません。なんとかなりました。
投稿日時 - 2002-07-24 04:48:29
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