偏微分方程式の座標変換について

質問

次の問題がわかりません。
関数u(x,t)は次の偏微分方程式
∂u/∂t = -2∂u/∂x - u - 2x
を満足するものとする。
(1)ξ=x-2t , η=t　なる座標変換を考える。関数uが満足するξとηに関する偏微分方程式を求めよ。
(2)v(ξ,η)=u*e^ηとおくとき、(1)の結果を用いて、関数v(ξ,η)の一般解を求めよ。
(3)境界条件u(0,t)=e^(-2t)+4を満足する関数u(x,t)を求めよ。
という問題です。わかる方がいたら回答よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

(1)
∂u/∂η + u = -2ε -4η は、それで ok です。

(2)
更に v = u e^η と置くと、積の微分法則
∂v/∂η = (∂u/∂η)e^η + u e^η より
前式から ∂u/∂η + u を消去して、
∂v/∂η = (-2ε -4η)e^η です。

この方程式は、容易に積分できて、
v = (4 -2ε -4η)e^η + g(ε) となります。
g(ε) は、η に依らない ε の関数です。

パッと見で不定積分をひらめかなければ、
v = (ηの一次式)e^η + g と見当をつけて
v = (aη+b)e^η を代入し、
∂v/∂η = {a+(aη+b)}e^η = (-2ε-4η)e^η
から a = -4, a+b = -2ε を解けばよいです。

先の ∂v/∂η = (∂u/∂η + u)e^η が
念頭にあれば、{a + (aη+b)}e^η の形を
思いつくのではないかと思います。

(3)
変数を v,ε,η から u,x,t に戻すと、
u = (4-2x) + g(x-2t) e^(-t) です。

これに x=0 を代入して、境界条件と比較すれば、
4 + g(0-2t) e^(-t) = e^(-2t) + 4 となって、
g(ε) = e^(ε/2) であることが判ります。

以上をまとめて、
u = (4-2x) + e(x/2-2t)。

(蛇足)
しかし、結果からみると、
問題で誘導された ε,η よりも
ζ = x, τ = x/2 - 2t のほうが良かったか
とか思いますね。
ζ = αx + βt, τ = γx + δt を代入して
解きやすくなるように好きな α,β,γ,δ を選ぶと、
こっちの変換にならないかな？

回答No.1

alice_44

(x,t) → (ξ,η) と変数変換したのなら、
合成関数の微分則より
∂u/∂ξ = (∂u/∂x) (∂x/∂ξ) + (∂u/∂t) (∂t/∂ξ),
∂u/∂η = (∂u/∂x) (∂x/∂η) + (∂u/∂t) (∂t/∂η)
です。この式を使って、問題の方程式から
∂u/∂t と ∂u/∂x を消去しましょう。
u = u(x,t) = w(ξ,η) として、
w についての微分方程式が現れます。

これが (1) です。これができれば、後は
v(ξ,η) = w(ξ,η) (e^η) と置いて
問題の誘導に乗っかるだけです。

とりあえず、ここまでやって、補足に書いてみてください。

補足

一応uのξとηに関する方程式は出てきて、
∂u/∂η ＋　u ＝-2ξ-4η
となりました。
ただ、(2)のようにおいたときどう解けばいいのかわかりません。。。