偏微分方程式と常微分方程式

質問

物質濃度をＣ、時間をｔ、座標をｘ、物質の分子拡散係数をνとすると分子拡散による物質濃度の時空間変化は以下の偏微分方程式によって記述される。これについて以下の問いに答えよ。
∂C/∂t=ν((∂^2)C/∂x^2)

(1)C(x,t)=X(x)T(t)と仮定することにより、X(x)およびT(t)に関する常微分方程式をそれぞれ導出せよ。
(2)(1)での２つの常微分方程式の一般解をそれぞれ求めよ。
(3)上記拡散方程式は一般に放物型と言われる偏微分方程式に分類される。これとは別の楕円型と言われる偏微分方程式を１つ、数式で記述せよ。

困っているのは(2)の問題です。

以下のようなwebサイトを見つけました。

http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/partial/

これに沿って問題を解いていったとき、一般解をどのようにするべきか迷いが生じました。今回の問題では初期条件や境界条件はないため、一般解はλが正、ゼロ、負のとき全ての場合の一般解を求めなければならないということですか？

後もう１点、もしよければ、楕円型の微分方程式として有名な物理現象、あるいは式を教えていただけないでしょうか？

ヨロシクお願いしますm(_ _)m

特に(2)の問題に関する質問、ヨロシクお願いします。。。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

＞一般解はλが正、ゼロ、負のとき全ての場合の一般解を求めなければならないということですか？
境界条件が何も与えられてないのであれば、そうですね。
正負は同じ形になるので場合わけしないでもいいですが、少なくともゼロは分けないとだめですね。

楕円型の代表例は、Poisson方程式です。非圧縮性流体の定常流の圧力分布とか、空間電荷が与えられたときの電位とか、いろんなところででてきます。あるいは、斉次なポアソン方程式（ラプラス方程式）の解は調和関数といいますが、正則な複素関数とか。

お礼

すみません、お礼の文章、間違えて補足に書いてしまいました(^^;)

補足

正負、確かに同じですね・・・
負のときは、ただオイラーの公式を用いて書き方を変えているだけですね(^^;)

楕円型の代表例はPoisson方程式ですか・・・
ちょっと具体的にPoisson方程式から、楕円型の偏微分方程式を
勉強してみます！！

具体的で詳しい説明、ありがとうございました！！！