微分方程式

質問

t≧0で，x = x(t) に関する以下の微分方程式

　　　(dx/dt) + (1/τ)x = (1/τ) cost

が成り立つとき，以下の問いに答えよ。ただし，定数τは0ではない実数である。

(1)　微分方程式を解きなさい。ただし，x(0)=0とする。

(2)　｜τ｜= 1 のとき，t → ∞ における(1)の解を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

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(1)
(dx/dt) + (1/τ)x =0の一般解 x1(t)=Ce^(-t/τ)

(dx/dt) + (1/τ)x = (1/τ) cos(t)　の特殊解を　x2(t)=Asin(t)+Bcos(t)　とおいて
A,Bを求める。
　Acos(t)-Bsin(t)+(A/τ)sin(t)+(B/τ)cos(t)=(1/τ)cos(t)
　A+(B/τ)=1/τ、(A/τ)-B=0
　A=τ/(1+τ^2),B=1/(1+τ^2)

以上から、与微分方程式の一般解x(t)は
　x(t)=x1(t)+x2(t)=Ce^(-t/τ) + {(τsin(t)+cos(t))/(1+τ^2)}
x(0)=0より
　C+1/(1+τ^2)=0 ∴C=-1/(1+τ^2)
よって
　x(t)=(τsin(t)+cos(t)-e^(-t/τ))/(1+τ^2)

(2)｜τ｜= 1 よりτ=±1
τ=1のとき
　lim(t→∞)x(t)=(1/2)lim(t→∞)(sin(t)+cos(t)-e^(-t))
　　=(1/√2)lim(t→∞) sin(t+π/4)
　収束せず。
τ=-1のとき
　lim(t→∞)x(t)=(1/2)lim(t→∞)(-sin(t)+cos(t)-e^(t))
　=(1/2)lim(t→∞) -(e^(t)){1+(sin(t)-cos(t)e^(-t)}
　=-(1/2)lim(t→∞)e^(t)
　=-∞（発散)
以上より
　x(t)は収束しない（収束値は存在しない）。

お礼

なるほど，わかりやすくて，ありがとうございます。了解しました。