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微分方程式

微分方程式 dx/dt=2x・・・(1) x(0)=5・・・(2) に関してわからないことがあるので質問します。 (1)よりx=x(t)で tが0のときxは5、ここで 1/(dx/dt)=1/(2x)=dt/dx ・・・(3) よりt=t(x)となり、上記のxとtの関係から、0=t(5)と置け、(3)の中央と右の辺をxで定積分して、∫(5→x)1/(2x)dx=∫(5→x)(dt/dx)dx より 1/2(logx-log5)=∫(5→x)dt ∴ 1/2log(x/5)=t(x)-t(5) ここからがわからないところですが、1/2log(x/5)+0=t(x)=t と解説にはのっており、この左辺の0は、自分の計算どうり、∫(5→x)dt の下端からできたものなのかはっきりしません。間違っていたら訂正おねがいします。 続けて、log(x/5)=2t よって x=5e^2t 二つ目のわからないところは、微分方程式の解はtが1増えるごとに、xは何倍になるかを問われたのですが 自分の計算では、{{5e^2(t+1)}-5e^2t}/(t+1-t)で5e^2t(e^2-1)倍でしたが、答えはe^2倍でした。 どなたか自分の考えを訂正してください。おねがいします。

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(1/2)log(x/5)=t(x)-t(5) ↓0=t(5)だから (1/2)log(x/5)=t(x)=t だから 左辺の0は0=t(5)の0 x(t+1)=5e^{2(t+1)} は x(t)=5e^{2t} の何倍かというのだから x(t+1)/x(t) =[5e^{2(t+1)}]/[5e^{2t}] =e^{2t}(e^2)/e^{2t} =e^2 ∴ x(t+1)=x(t)(e^2) x(t+1)はx(t)の(e^2)倍

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質問者からのお礼

x(t+1)=x(t)(e^2)で納得できました。ありがとうございます。

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  • 回答No.3

>1/(dx/dt)=1/(2x)=dt/dx ・・・(3) からスタートしてみよう。 第 2, 3 項、  (1/2)/x = dt/dx    ↓ x で積分 (任意定数を C として)  t = (1/2)LN(x) + C   …(A)    ↓ t が 0 のとき x は 5  0 = (1/2)LN(5) + C  C = -(1/2)LN(5) これを (A) へ代入し、  t = (1/2)LN(x) - (1/2)LN(5)   = (1/2)LN(x/5)  …(B) … という勘定。 つまり「境界条件」  x(0) = 5  …(2) から任意定数 C を確定する。 >微分方程式の解はtが1増えるごとに、xは何倍になるか… 上記 (B) から勘定してみる。  t + 1 = (1/2)LN(x) + 1 = (1/2){ LN(x) + 2 }     = (1/2)LN(x*e^2)  …(C) つまり、「答えは e^2 倍」。   

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質問者からのお礼

t=0のときx=5を代入してCを求めたり、一旦Cを使って積分をあらわしたり、勉強になりました。お返事ありがとうございます。

  • 回答No.2
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(1つ目) dx/dt=2x・・・(1), x(0)=5・・・(2) (1)より dx/x=2dt loge(x)+2t+C (2)より loge(5)=C loge(x)=2t+loge(5) loge(x/5)=2t x/5=e^(2t) x= 5e^(2t) ... (4) .... (Ans.) (2つ目) t=t1(任意) の時 (4)より x=x1=5e^(2t1) ... (5) t=t1+1の時 (4)より x=x2=5e^(2t1+2) ... (6) (5), (6)より x2/x1=e^2 (Ans.) e^2 倍

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質問者からのお礼

dx/dt=2xをdx/x=2dtとするのは新しかったです。何倍になるかを求めるときは、比の考えをつかうんですね。お返事ありがとうございます。

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