微分方程式の解き方

質問

以下の微分方程式を解けという問題なのですが、
x^2*(dx/dt) = t* ((1+x^3)^(3/2))

以下の２通りを考えたのですが、どれもうまくいきませんでした。
(1)z=(1+x^3)　と置いて解く。
　しかし、この場合のdz/dtが求められなかったり、dx/dtをどのように置き換えた
　らよいのかで行きづまりました。
(2)z=((1+x^3)^(3/2))*(x^-2) と置いて解く。
　(1)と同様の理由で行きづまりました。

どのような解法があるのか検討がつきません。
解法だけでもかまいませんので、
よろしくお願いします。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

(1)z=(1+x^3)　と置いて解く。　でよいです。

１．もとの式は変数分離できます。
x^2*dx/(1+x^3)^(3/2) = t・dt
ここで「dz/dtが求める」のではなく、両辺を積分します。

２．するとx^3を微分すると 3・x^2・dx になることが判れば簡単です。
後はもう少し全体を見て、(1+x^3)を微分しても 3・x^2・dx になることを見つけます。
３．すると右辺の積分はべき乗の積分　(1/3)∫dz/z^(3/2)　になります。
すると左辺の積分も含めて簡単ですよね。

お礼

なるほど、zをxで微分するのですね。
勉強になりました！ありがとうございます！！！