微分方程式

質問

こんにちは。どうしても解けないので分かる方がいらっしゃったら教えてください。

Ｑ．次の微分方程式の一般解を変数分離法でもとめよ
1.dx/dt + t^(3) / ((x+1)^2) = 0
2.dx/dt + t / (log[x]) = 0

1はx^3 + 3x^2 + 3x = (-3t^(4)) /4 +3C,
2はxlog[x] + x = -(1t^(2)) /2 +C
まできたんですがこれから先がわかりません。m(_ _)m

回答No.2

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。

＞これから先がわかりません。
変数分離形の微分方程式を、求積法で解くのが目的のようですので、
「積分したら終わり」という感じでも構わないと思います。

専門家は、陽関数の表示にはこだわらないはずです。
（もし、そうではない指導を受けていたらすみません）
従って質問者様の解答で、ストップしても正解だと思います。
（(2)は符号のミスがあるようです）

私でしたら次のように解答します。

（答え）
(1) (1/3)(x+1)^3=-(1/4)t^4+C（Cは積分定数）
(2) xlogx-x=-(1/2)t^2+C（Cは積分定数）

お礼

遅い返信ですいません。
2番はxlogx-x=-(1/2)t^2+Cでも良いといわれました。
本当にありがとうございました

回答No.1

info22

1)
dx/dt + t^(3) / ((x+1)^2) = 0
((x+1)^2)dx=-(t^3)dt
両辺積分して
(1/3)(x+1)^3=-{(t^4)/4}+C1
(x+1)^3=-(3/4)(t^4)+3C1
x+1=-{(3/4)(t^4)+C}^(1/3) , C=-3C1とおく。
x=-1-{(3/4)(t^4)+C}^(1/3)

2)
dx/dt + t / (log[x]) = 0
(log(x))dx=-tdt
x*log(x)-x=-(t^2)/2+C1
x*log(x/e)=-(t^2)/2+C1　
(x/e)^x=C*e^{(-t^2)/2} , C=e^C1とおく。
この先は変形できませんね。

お礼

遅い返信ですいません。
早い回答ありがとうございました！