２階の常微分方程式について

質問

２階の常微分方程式についてお聞きします。
λ=a+bi の２つの共役の解である場合、

y = C1 exp(λ1x) + C2 exp(λ2x)　が一般解になるはずですが、

これを変形して

y = exp(ax) (C1 cosbx + C2 sinbx)となるらしいのですが、

どういうふうに変形しているのでしょうか？問題はここまで解けないといけないらしいので教えてくださいお願いします。

回答No.1

green555 · ベストアンサー

まずλ=a±ibならば、y1=exp{(a+ib)x} , y2=exp{(a-ib)x} となります。

これによりyの一般解はy=c1y1+c2y2=A*exp{(a+ib)x}+B*exp{(a-ib)x}となります。(AとBは任意定数です。)

ここで、y1=exp(ax+ibx)=exp(ax)*exp(ibx)となります。
更に、上式のexp(ibx)にオイラーの公式を適用します。(オイラーの公式：exp(ix)=cos(x)+isin(x))

すると、y1=exp(ax)*{cos(bx)+isin(bx)}となります。

y2についても同様のことを行います。
すると、y2=exp(ax)*{cos(bx)-isin(bx)}となります。

このy1とy2を先ほど述べたyの一般式に代入すると、
y=exp(ax)*[A{cos(bx)+isin(bx)}+B{cos(bx)-isin(bx)}]
となります。

[]内をcosとisinについて整理すると、
y=exp(ax)*[{A+B}cos(bx)+i{A-B}sin(bx)]となります。

ここで{A+B}=C1 , i{A-B}=C2とすると

解答の式、
y=exp(ax){C1 cox(bx) + C2 sin(bx)}
を得ることができます。

長文失礼しました。

お礼

お返事ありがとうございます。
オイラーの公式が少しわかってなかったようです。
それとi{A-B}=C2　のようにiも含めてまとめてしまっていいんですね。
すっきりしました。

回答No.4

ojisan7

>問題はここまで解けないといけないらしい
それは、本質的なことではありません。一般解を
y = C1 exp(λ1x) + C2 exp(λ2x)
としても、一向に構いません。数学的には、これで、一般解が求まったことになります。しかし、一般解が実数値関数で表記できるならば、複素数値関数のままだと、なんか気持ち悪いですね。だから、
y = exp(ax) (K1 cosbx + K2 sinbx)　
という形にするのです。この形の方が、「美的」だと感じる人が多いのでしょう。ただしC1,C2とK1,K2との関係は、
K1=C1+C2
K2=i(C1-C2)
となりますね。
些末的な事であり、どっちでもいい話ではありますが・・・・

お礼

ご返事ありがとうございます。
そうですか、実数値関数で表記しなくても同じなんですね。

補足

ちなみにこのあとx=0において y=2 dy/dx=0となる解を求めたいのですが、
C1とC2というのは求める必要はないんでしょうか？

回答No.3

Mr_Holland

特性方程式を使われているところを拝見しますと、実数定数係数２階線形常微分方程式の一般解を考えられているように思います。

　特性方程式の解が２虚根だった場合は、ご質問の通り、

　　y = C1 exp(λ1x) + C2 exp(λ2x)
　　ただし、λ1＝a+ib, λ2＝a+ib；　C1,C2は実数。

が一般解になりますが、これをそのまま変形するだけでは、

　　y = exp(ax) (C1 cosbx + C2 sinbx)
　　ただし、C1,C2は実数。

という実数値関数の一般解を得ることはできないと思います。
　そのため、1次独立な2つの解　exp(λ1x)　と　exp(λ2x)　の実部と虚部とに分けて考えたほうがいいと思います。

　これらの2つの解を、それぞれ実部と虚部が明確になるように表すと次のようになります。

　　exp(λ1x)＝exp{(a+ib)x}＝exp(ax){cos(bx)+i*sin(bx)}
　　exp(λ2x)＝exp{(a-ib)x}＝exp(ax){cos(bx)-i*sin(bx)}

　ここで、問題としている微分方程式の係数は実数ですので、上の２つの解の実部は実部で微分方程式を満足し、虚部は虚部だけで同じ微分方程式を満足させます。
　いま、上の２つの解は、複素共役の形になっていてますので、実部が共通で、虚部は符合が違うだけですから、問題の微分方程式は、

　　exp(ax)cos(bx)、　　exp(ax)sin(bx)

という２つの解を持つことになります。
　これらの解は、互いに1次独立ですので、微分方程式の解は、これらの線形結合で表されることになりますので、改めて実数の任意定数としてC1,C2をとることとすれば、問題の微分方程式は、次の一般解を持つことになり、求める式を得ることができます。

　　ｙ＝C1exp(ax)cos(bx)+C2exp(ax)sin(bx)
　　　＝exp(ax){C1cos(bx)+C2sin(bx)}

お礼

ご返事ありがとうございます。

回答No.2

noname#101087

(1) 指数関数公式。
・exp(a+bi)x = exp(ax)*exp(ibx)
・exp(ibx) = cos(bx) + i*sin(bx)

(2) y が実関数ならば、
　y = C1 exp(λ1x) + C2 exp(λ2x)
において、C2 は C1 の共役複素数。

.... などを考慮して変形。

お礼

ご返事ありがとうございます。