２階線形微分方程式の特性解が重解のときを極限で解釈

質問

定数を係数とする２階線形微分方程式の同次形は、
y’’＋ay’＋b＝0
で、
λ^2+aλ+b=0
において、
実数解を二つ持つとき、解をλ1、λ2とすると、
微分方程式の解は、y=C1exp(λ1x)+C2exp(λ2x)
と表される。

実数解を一つ持つとき、解をλとすると、
微分方程式の解は、y=(c1+c2x)exp(λx)
と表される。

特性方程式が解を二つ持つとき、その解λ1、λ2において、
λ1がλ2に限りなく近づいた極限が、解を一つ持つときと考えられると思います。
そのような極限の考え方で、
y=C1exp(λ1x)+C2exp(λ2x)
が
y=(c1+c2x)exp(λx)
に近づくという解釈をしたいのですが、いいアイデアがありましたら教えてください。

回答No.1

metzner · ベストアンサー

こんにちは。

まずλ1がλ2に限りなく近づいた極限では、exp(λ1x)はexp(λ2x)になって重なって
しまうので、独立な基底になりえません。

これを見越して、重解でない場合の基底を

exp(λ1x)

と

[exp(λ1x)-exp(λ2x)]/(λ1 - λ2)

ととっておけばいいです。

すなわち、重解でないときの解は

y = c1*exp(λ1x) + c2*[exp(λ1x)-exp(λ2x)]/(λ1 - λ2)

と書けます。　ここでλ1がλ2に限りなく近づいた極限では、上の式は、

y = c1*exp(λ2x)+c2*x*exp(λ2x)

となり、重解の場合の式になります。

お礼

よくわかりました。ありがとうございました。