定数係数線形微分方程式で右辺がsin、cosの場合

質問

定数係数線形微分方程式で右辺がsin、cosの場合、その特性方程式の解が実数の場合には、yo = Asin(ax+b)+Bcos(ax+b)の形の特殊解があり、虚数解iaをm重根もつ場合には、yo = x^m{ Asin(ax+b)+Bcos(ax+b) }の形の特殊解があることは理解できました。
　もし、特性方程式が3次以上でその解が実数と虚数解の両方を持つ場合には、その特殊解はどのような形になるのでしょうか？
　例えば、 y'''-y''+y-1=3sin(2x+1) の場合、その特性方程式は (t-1)(t^2+1)=0 から t= 1,±i となると思います。この場合の特殊解はどのような形になるのでしょうか？アドバイスいただければと思います。宜しくお願い致します。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#1,#2です。

A#2の補足質問回答

>「sin(2x+1)=sin(2x)cos(1)+cos(2x)sin(1)であることから、特殊解の形は次のような式になりま　
　す。y=Asin(2x)+Bcos(2x)」
とあるのですが、なぜなのでしょうか？

これが右辺にsin(2x)やcos(2x)がある時の特殊解の定石の置き方です。覚えておいて下さい。

一般的に特殊解は非斉次（非同次）微分方程式を満たすどんな解でも良いわけで、それが特殊な（特別な）解の呼称となっているので特殊解の見つけ方はどんな方法でもいいですが、過去の先人達が見つけてくれた方法が定石として伝わっているわけです。別に定石にこだわる必要はありませんが、定石を使えば特殊解が確実に見つけられるということです。

しかし、特殊解はどんな方法を使っても元の微分方程式を満たす関数であれば問題ないです。また特殊解は一通りとは限りません。
今の問題の場合も非同次微分方程式の特殊解の候補として、右辺の正弦関数の形から類推して
y=Asin(2x+1)+Bcos(2x+1)
とおいても構いません。
これを元の非同次微分方程式に代入してA,Bを求めてやると
A=1/5,B=2/5となり、特殊解の1つとして
y={sin(2x+1)+2cos(2x+1)}/5
が得られます。

特殊解は元の非同次微分方程式を満たす関数の1つですが1通りとは限りません。また求め方もどんな方法で求めても良いのです。しかし過去の先人たちが見つけてくれた特殊解の求め方（定石）を使えば苦労なく確実に特殊解が求められます。であればその定石を使わない手はないと思います。多くの解答のある問題を沢山こなし、先人たちの模範解答に多く触れたり、参考書に定石としてまとめられていることを学習することで特殊解の求め方の定石を身につけることができます。

がんばって解答付の多くの問題を解くようにしてください。

お礼

info22_様ありがとうございます。大変参考になりました。解答付の多くの問題を解くようにします。

回答No.3

Tacosan

ラプラス変換するなり演算子でホゲるなりするとわかるんだけど, 結局のところ
特性方程式が重解を持たず, また ±ia という形の解も持たない
なら同じことなんです.
そもそも最初に「解が実数のとき」と「ia を m重解に持つとき」は考えてるんだけど, その他のときはなぜ無視してるの?

補足

Tacosan様ありがとうございます。
『「解が実数のとき」と「ia を m重解に持つとき」は考えてるんだけど, その他のときはなぜ無視してるの?』とありますが、他にどのような場合があるのでしょうか？
「えっ」と思うことかもございませんが、微分方程式を勉強し始めたばかりの者です。大変申し訳ございませんが、宜しくお願い致します。

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の特殊解を求めた結果の式で括弧の付け位置の転記ミスがありましたので訂正します。

>実際に特殊解を求めると
の次の行の中括弧「}」の位置を以下のように訂正します。
誤：y=-(1/10){4sin(1)-2cos(1)}sin(2x)+(1/5){sin(1)+2cos(1)cos(2x)}
正：y=-(1/10){4sin(1)-2cos(1)}sin(2x)+(1/5){sin(1)+2cos(1)}cos(2x)

補足

info22_様アドバイスありがとうございます。
「sin(2x+1)=sin(2x)cos(1)+cos(2x)sin(1)であることから、特殊解の形は次のような式になりま　
　す。y=Asin(2x)+Bcos(2x)」
とあるのですが、なぜなのでしょうか？
お手数おかけ致しますが、宜しくお願い致します。

回答No.1

info22_

>その特性方程式は (t-1)(t^2+1)=0 から t= 1,±i となると
こうなるなら、微分方程式は間違っていませんか？多分凡ミスと思いますが…。
誤：y'''-y''+y-1=3sin(2x+1)
正：y'''-y''+y'-y=3sin(2x+1)

上のように訂正したとして

>この場合の特殊解はどのような形になるのでしょうか？

sin(2x+1)=sin(2x)cos(1)+cos(2x)sin(1)
であることから、
特殊解の形は次のような式になります。
y=Asin(2x)+Bcos(2x)

実際に特殊解を求めると
y=-(1/10){4sin(1)-2cos(1)}sin(2x)+(1/5){sin(1)+2cos(1)cos(2x)}
となります。