• 締切済み

微分方程式の問題です。

微分方程式の特性方程式による解法についてですが、重根λsをもつとき、基本解系にte^(tλs)が含まれるのはなぜですか? 代入したら成り立つからというのではなく、どういう理論で出てきたのか知りたいです。 もしかしたら、先人が目の子で探したのかもしれませんが・・・

みんなの回答

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

d^2x/dt^2 = 0 の解を考えてみるのが一番早いか?

関連するQ&A

  • 微分方程式

    問題を解いていて少し疑問に思ったので質問させてください。 u=u(t)を未知関数として A(du/dt) + B*u = E*sin(ωt) について、一般解を求め、その後初期条件u(0)=u0のもとで解け。 ただし、A,B,E,ωは正定数とする。 上記のような問題なんですけど、これは一階微分方程式ですよね? 一般解は、二階微分方程式では特性方程式によって求めた基本解と、未定係数法で求めた特殊解を重ね合わせて作るという印象があります。 このような一階微分方程式の場合はどのように解けばいいですか? 二階の時と同じように解いてよいならば、特性方程式の解から基本解を作る時など、二階微分方程式の時と同じようにやってよいものか疑問です。 特殊解も未定係数法もつかってよいのでしょうか。 詳しい方いましたら教えてください。

  • 微分方程式の解法。

    現在、私は微分方程式が解けなくて困っています。 その微分方程式は次のようになります。 (d^2/dr^2)T+(1/r)(d/dr)T=(1/K)(d/dt)T をラプラス変換した、 T''+(1/r)*T'-(s/K)*T=0 です。 式のsはラプラス演算子で、Kは定数です。 この式の解法を調べたところ、上のような微分方程式はベッセルの変形微分方程式というものであることがわかり、一般解を導出し、計算したのですが、ラプラス逆変換が困難で挫折しました。 なにか他の解法はありませんか? 今、考えているのが解を次のように仮定し、 T=A*exp(-rs)+B*exp(-rs) 上の式に代入し、境界条件によってAとBを決定する方法です。 この方法はまずいですか? 困っているので回答お願いいたします。

  • 微分方程式

    微分方程式の勉強をしているのですが、 本の微分方程式を解く例題で y''-2y'+y=xe^x 特性方程式s^2-2s+1=0は2重解s=1をもつ。これより補助方程式の一般解は y=e^x(Ax+B) である。 与方程式の右辺を微分して生ずる関数は、xe^x,e^xであるが、これらは 上の一般解に含まれている。このような場合特殊解を求めるために、xe^xに特性方程式の解1の重複度2だけxをかけて、 y1=ax^3e^xとおくと y1'=a(x^3*e^x+3x^2*e^x),y1''=a(x^3*e^x+6x^2*e^x+6xe^x) これらを与方程式に代入すると6axe^x=xe^xよりa=1/6 よってy=e^x(Ax+B+x^3/6) とあるのですが、上文にある重複度っていうのがわかりません。 例えば、特性方程式の解が2±i(虚数解)で、これより 補助方程式の一般解はy=e^(2x)(Asinx+Bcosx) 与方程式の右辺がe^(2x)のときの重複度はどうやって考えれば いいでしょうか?

  • 微分方程式

    dy/dx-2*x^2*e^x*y+e^x*y^2=2*x-x^4*e^x に対しての次の問のとき方について教えてください (1)x^a が微分方程式の解となるように実数aを求めよ (2) a を(1)で求めたものとする。y=x^a+zを微分方程式に代入して,zの満たす微分方程式を求めよ。 (3)(2)で求めたzの微分方程式を解いて,もとの微分方程式の解yを求めよ (1)についてはa=2という答えだと思うのですが,(2)以降の解き方の手順がわかりません。解法がわかるのであればよろしくおねがいします。

  • 2階常微分方程式

    x*y''-y'=0 この微分方程式を解きたいのですが解法がわかりません・・・ y"の係数がx^2であればオイラーの微分方程式としてy=x^αを代入して解を得ることができますが この形ですとα=0となってしまい解を求めることができません。 このような定数係数以外の時の2階常微分方程式の解の求め方について説明をお願いします。

  • 微分方程式の問題です。

    微分方程式の問題です。 微分方程式の問題で、 (d^2y)/(dx^2)+(tanx)*{(dy)/(dx)}+(cos^2x)*y=0 の一般解を求めよという問題なのですが、解き方が分からず困っています>< 解法が分かる方がいれば、解法を教えていただけないでしょうか? よろしくお願いします!!

  • 微分方程式の問題ですが・・・

    y´´-3y´+y=e^x cosx という微分方程式をy=e^x (Acosx+Bsinx)の形で求めよという問題ですが、同次方程式の解と特殊解の解を求めればいいと思うのですが、 特性方程式λ^2 -3λ+1=0で解きます。解の公式で解くとλ=3±√5/2という解がでたのですがあっているのでしょうか?もしあっているとしたら基本解は実数解になるのですが、y=e^x (Acosx+Bsinx)の形で求めよという問ですので基本階は共役複素数解にならないといけないですよね?僕はどこを間違えているのでしょうか?教えてください

  • 微分方程式

    すいません。 微分方程式 dx/dt=y dy/dt=t+0.1-x-(x-t)^{3} を解ける人いたら解いてもらえませんでしょうか?(数値解法でない方法で) 真解が知りたいです。 初期値は適当な値でいいので、t=0,x=4,y=1 でお願いします。 そもそも、これって真解求まるのかすらわかりません。 今、プログラムの課題で上記の微分方程式をおいらー法で解くプログラムを作ってるんですが、真解を求めて、その誤差を測りたいと思っている次第です。 よろしくお願いします。

  • 常微分方程式についてです

    ω(t)はtに関する関数です。 τ>0,Cは定数とします。 このとき以下の微分方程式の解法をよろしくお願い致します。 (2τ^2)(∂ω/∂t)ω + (1/2)tω = C 自分はまず簡単のためC=0として計算してみましたが、 それでも解を求めることができませんでした。 どなたか解法をよろしくお願い致します。

  • 微分方程式

    次の微分方程式を解けという問題がわかりません。 y''+4y=sin2x 特性方程式s^2+4=0よりs=±2i(虚数解) 補助方程式の一般解はy=Asin2x+Bcos2x 与方程式の右辺を微分して生じる関数は2sin2x,2cos2xであるが、 これらは上の一般解に含まれている。重複度は2なので、 特殊解を求めるために、 y1=ax^2*sin2xとおく y1'=2a(xsin2x+x^2cos2x) y1''=2a(sin2x+4xcos2x-2x^2sin2x) これらを与方程式に代入すると 2asin2x+8axcos2x-4ax^2sin2x+4ax^2sin2x=sin2x となってしまって解けませんでした。どこを直せばいいでしょうか?