線形微分方程式の一般解

質問

定係数の線形微分方程式の解は経験的にexpの累乗の形になる。
とあるのですが、どうしてそういえるのですか？
噛み砕いて説明していただくと嬉しいです。
よろしくお願いいたします。

例えば以下のような文です(累乗がかけずに見ずらいですが・・・)
次のd2X(x)/dx2+β2X(x)=0
という
経験的に定係数の線形微分方程式の解はX(x)=eαxである。

回答No.1

Suue · ベストアンサー

実際に、求めた解がもとの微分方程式にあてはまっているかどうかを確認すればいいでしょうか。数学的にはあまり正確とはいえませんが。

微分方程式
ａｙ’’＋ｂｙ’＋ｃｙ　＝　０
の解は、
ｙ　＝　Ａexp(αｘ)　＋　Ｂexp(βｘ)　（Ａ、Ｂは任意定数）
となっています。ここでα、βとは、代数方程式
ａｘ^2 ＋ ｂｘ ＋ ｃ　＝　０　の解です。

演算子法を学んでいただければわかりますが、要するにこの形の微分方程式は、代数方程式を解いて、その解に独立変数をかけたものを指数の肩にのせ、それらの線形結合が解になっています。ただし、求めた代数方程式に重解がある場合はまた違う形になります。

また、ｎ回の線形常微分方程式の一般解にはｎ個の任意定数が含まれることがわかっていますので、そのことからも、解が線形独立な指数関数の線形結合だと言えます。

お礼

Suue さま

ご回答ありがとうございます。
実際に、求めた解がもとの微分方程式にあてはまっているかどうかを確認すればいいで…が最も分かりやすいですね。

しかし、n回の線形常微分方程式の一般解にはｎ個の任意定数が含まれることがわかっていますので、そのことからも、解が線形独立な指数関数の線形結合だと言えます…が適しているのでしょう。

よく理解できました。
ありがとうございました。

回答No.3

guuman

f(X)を任意の多項式としたとき
定係数斉次線形微分方程式
f(d/dx)・y=0
の一般解は必ず
x^m・exp(α・x)
（mは0以上整数でαは複素数)
の形の関数の線形一次結合になる

これは「経験」ではなく簡単に証明できる命題だ
なおsinやcosは実質は指数関数なので区別する必要は無い

お礼

guumanさま

遅くなりましたが、ありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

>定係数の線形微分方程式の解は経験的にexpの累乗の形になる。
ちょっと，いいすぎですね，これ．
せめて，「指数関数の一次結合になる」くらいでしょうか．

以下，「一番都合のよい状態」でのみ大雑把な話をします．

y'=ay の解が y=Ce^{ax} という形になるのはいいですか？
y''+ay+b=0 の解は実は C1e^{A1x}+C2e^{A2x}という形になります．
A1，A2はx^2+ax+b=0の解
ただし，a^2-b>0ではないという条件ですが．
これを繰り返していくと，
n階の定数係数線型常微分方程式の解は
C1e^{A1x}+C2e^{A2x}+・・・+ Cne^{Anx}
というような形になるんです．
ただし「一番都合のよい状態」での話です．
都合が悪くなっていくと三角関数が顔を出してきたりします
重解があったり虚数解があったりするとという意味です．

>次のd2X(x)/dx2+β2X(x)=0
β>0だとしてこれはどうあがいても
e^{ax}（aは実数）にはなれません．
これが「虚数解」の例で，
解はX(x) = C1cos(βx)+C2sin(βx)という形でしょうか．
実は複素数を許すのであれば，
C1e^{iβt}+C2e^{-iβt}が解で，指数関数の一次結合です．

お礼

kabaokaba さま

都合が悪くなっていくと三角関数が顔を出してきたりします
重解があったり虚数解があったりするとという意味です…
は難しそうですので目をつぶります。

n階の定数係数線型常微分方程式の解は、指数関数の一次結合になる。
それは、解を得るためにn階の積分を解く=ｎ個の積分定数をもつ。
ということだと理解できました。

ありがとうございました。