2階線形常微分方程式の解は、なぜ。

質問

2階線形常微分方程式は、y＝exp(λx)と仮定して解くと、解を2つ求めることができますが、その各々が解であることは明らかですが、なぜその各々の解の線形結合も解になるのでしょうか？また、その各々の線形結合は、絶対に解になるのでしょうか？それとも条件付きでしょうか？

回答No.8

tmpname

実際最初のコメントで

L(af + bg) = a L(f) + b L(g) (★）
が成立していることを言っているのです。実際（★）の左辺と右辺を計算すると一致するでしょう？

と書いています。実際に計算してみましょう。一つ前のコメントでも書きましたが、実際に手を動かして確かめること。本を流し読みするだけでは駄目です。

回答No.7

tmpname

> 解の線形結合が解になるのは、Lが線形写像だから。
その通りです。
> Lが線形写像なのは、解の線形結合が解になるから。
そんなことは書いてない。

Lが線型写像なのは、具体的に L(af+bg)を実際に計算して、 aL(f) + bL(g)と確かに一致することから確かめられる。というか実際に計算してみましたか？手を動かさないと駄目です。

お礼

ありがとうございました

回答No.6

tmpname

ベクトル空間とか線型写像とか線型写像の核とかは（線形代数で）学習していますか？

お礼

ありがとうございました

補足

知識の知不知以前に、論理が循環しているので、理解できないという意味です。

解の線形結合が解になるのは、Lが線形写像だから。
なぜならば、
Lが線形写像なのは、解の線形結合が解になるから。
・・・
「？」となっちゃうんです。

具体例を交えて具体的に解説して頂けると大変ありがたいです。

回答No.5

tmpname

以下の通り既に書いていますが、不明点はありますか？

で、同次微分方程式というのは、今の場合 L(f) = 0となる f全体を求める事を意味している、つまり Lの核 ker(L)を求めることを意味しています。これは Wの部分ベクトル空間になっています。なぜなら Lが線型写像であるから。 つまり、f∈ker(L), g∈ker(L)なら、 L(f)=0, L(g) = 0であって、このとき L(af + bg) = a L(f) + b L(g) =0、つまり af+bg∈ ker(L)であって、つまり 解の線形結合はやはり解になっている。

お礼

ありがとうございました

補足

「L(f) = 0となる f全体を求める事を意味している」の意味がわからず、それ以下の「これは Wの部分ベクトル空間になっています。なぜなら Lが線型写像であるから。 つまり、f∈ker(L), g∈ker(L)なら、 L(f)=0, L(g) = 0であって、このとき L(af + bg) = a L(f) + b L(g) =0、つまり af+bg∈ ker(L)であって、つまり 解の線形結合はやはり解になっている。 」の箇所も、何が何だかわからないです。

回答No.4

tmpname

> 「D^2」は「非線形」ではないのですか？
D^2(y)というのは D(D(y)) のことなのはいいですよね？ （もしかして D^2(y) = (D(y))^2 のことと思ってないですよね？）

で、例えばD(f+g) = D(f) + D(g)だから（なのはいいですよね？） D^2(f+g) = D(D(f+g)) = D( D(f) + D(g) ) = D(D(f)) + D(D(g)) = D^2(f) + D^2(g) です。実数倍についても同じように考えればよい。

お礼

ありがとうございました

補足

たとえば、f(x)=x^3, g(x)=sinxのとき、

D(f+g)=d/dx(x^3+sinx)=3x^2+cosx
D(f)=3x^2
D(g)=cosx
よって、D(f+g)=D(f)+D(g)

D^2(f+g)=d/dx(3x^2+cosx)=6x－sinx
D^2(f)=d/dx(3x^2)=6x
D^2(g)=d/dx(cosx)=－sinx
よって、D^2(f+g)=D^2(f)+D^2(g)

ということであってますでしょうか？

そのことと、基本解の線形結合が一般解になることが、つながらないのです。。。

回答No.3

tmpname

つまりですね。

今微分作用素をDと書くことにして、左辺の D^2 y + P(x) Dy + Q(x) yというのを、一旦 L(y)という風に書くことにします。
つまり、「L」というのは、ある（2回は微分出来る）関数 f が与えられた時に、(D^2)f + P(x) Df + Q(x)fを返す、という、関数を引数として関数を返す作用素と考えるわけです。
もっといえば、実数体上の実数値関数全体を V、実数値上の実数値関数で2回微分出来る関数全体をWとすると、LはWからVへの写像となっている訳です。関数空間から関数空間への写像ですね。ここで、実数体をRと書くと、WやVは R上のベクトル空間となっているのはいいですか？

で、LはWからVへの写像といいました。繰り返しますが L(f) = (D^2)f + P(x) Df + Q(x) fでした。で、『線形』微分方程式、と言っているのは、この 『L』が（WからVへの）線型写像となっていることをいうのです。つまり、具体的にはa, bを任意の実数として、
L(af + bg) = a L(f) + b L(g) (★）
が成立していることを言っているのです。実際（★）の左辺と右辺を計算すると一致するでしょう？

で、同次微分方程式というのは、今の場合 L(f) = 0となる f全体を求める事を意味している、つまり Lの核 ker(L)を求めることを意味しています。これは Wの部分ベクトル空間になっています。なぜなら Lが線型写像であるから。 つまり、f∈ker(L), g∈ker(L)なら、 L(f)=0, L(g) = 0であって、このとき L(af + bg) = a L(f) + b L(g) =0、つまり af+bg∈ ker(L)であって、つまり 解の線形結合はやはり解になっている。

繰り返しになりますが、これは Lが線形性をもつ事、つまり (★）に基づいています。

お礼

ありがとうございました

補足

回答ありがとうございます。

「『L』が（WからVへの）線型写像」となるのは、なぜですか？

つまり、「a, bを任意の実数として、L(af + bg) = a L(f) + b L(g) (★）
が成立」するのはなぜですか？

「D^2」は「非線形」ではないのですか？

回答No.2

tmpname

ちょっと質問を返しますが、そもそも、（今の場合は同次）『線形』微分方程式、ってどう意味として使っていますか？

お礼

ありがとうございました

補足

意味はよくわからないのですが、
y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x)
の形（同次ならばR(X)=0）の微分方程式を指して使ってます。

回答No.1

nihonsumire

簡単に言うと、代入すると微分方程式を満たすからです。これが納得いかなければ、解空間に関し少し立ち入った理解が必要となります。参考URLを下記に記しますが、解空間や重ね合わせの原理などで検索してみてください。
https://www.cck.dendai.ac.jp/math/~t-hara/Lectures/2018/ode1/supplement7.pdf

お礼

ありがとうございました

補足

回答ありがとうございます。
「重ね合わせの原理」が成り立つ仕組みを教えてください。
よろしくお願い申し上げます。

（代入すると微分方程式を満たすこと自体は納得してます）