偏微分方程式

質問

ある大学院の過去問なんですが、小問が３つあるんですが、まず１つ目について教えてください。

『次のような u(x, t) に関する偏微分方程式を考える。
　　　　∂u/∂t + u ∂u/∂x = ν ∂^2 u/∂x^2　　　　(*)
ここで、νは正の定数である。この時以下の問いに答えよ。

(1) (*)式に ψ(x, t) と φ(x, t) を用いた２段階の変換
　　　　i. u = ∂ψ/∂x
　　　　ii. ψ = αlogφ
を行ない、定数αを適当に選ぶと φ(x, t) に関する線型方程式
　　　　∂φ/∂t = ν ∂^2 φ/∂x^2　　　　(**)
が得られることを示せ。また、そのときのαを求めよ。』

と言う問題です。

変換i. ii. を行なってφの偏微分方程式には出来るのですが（合ってるかどうかは別問題）
αをどう取っても(**)になりそうにないんです。（ってことは合ってないって事？）

やったのは
　　　　u = ∂ψ/∂x = (∂/∂x)(αlogφ) = (α/φ)(∂φ/∂x)
　　　　∂u/∂t = (∂/∂t){(α/φ)(∂φ/∂x)} = -(α/φ^2)(∂φ/∂t)(∂φ/∂x) + (α/φ)(∂^2 φ/∂t∂x)
　　　　∂u/∂x = (∂/∂x){(α/φ)(∂φ/∂x)} = -(α/φ^2)(∂φ/∂x)^2 + (α/φ)(∂^2 φ/∂x^2)
　　　　u(∂u/∂x) = (α/φ)(∂φ/∂x){-(α/φ^2)(∂φ/∂x)^2 + (α/φ)(∂^2 φ/∂x^2)}
　　　　　　　　= -(α^2/φ^3)(∂φ/∂x)^3 + (α/φ)^2(∂φ/∂x)(∂^2φ/∂x^2)
　　　　∂^2u/∂x^2 = (∂/∂x){(α/φ)(∂φ/∂x)} = -(2α/φ^2)(∂φ/∂x)^2 + (α/φ)(∂^2φ/∂x^2)
までなんですが、これを(*)に代入するとすごい事になってとても(**)にたどり着けそうにないんです。

ここまでで既に間違ってるんでしょうか？それともこの状態でαを適当に選べば(**)が導けるんでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#2380 · ベストアンサー

とりあえずできるところまでで、計算してみました。
偏微分の記号を(1)のように表現させていただきます。
(∂/∂t)=(Dt)
(∂/∂x)=(Dx)　　(1)

問題の偏微分方程式は、

[Dt+u*Dx-ν*(Dx*Dx)]u=0 (2)

(2)式に、問題のヒントとして与えられている、変換式(3)を代入します。

u=(Dx)ψ (3)

すると(2)式は
(Dt)*(Dx)ψ+[(Dx)ψ][（Dx*Dx)ψ]-ν*(Dx)*(Dx)*(Dx)ψ=0

上式を整理すると

Dx*((Dt)ψ+0.5*[(Dx)ψ]^2-ν*(Dx*Dx)ψ)＝0 (4)

(4)式を解くと
(Dt)ψ+0.5*[(Dx)ψ]^2-ν*(Dx*Dx)ψ=g(t) (5)

ここで、g(t)はｔの任意の関数（当然0という定数でもよい）。
(5)式に変換式(6)を代入します。

ψ=α*log(φ) (6)

ここから先の計算ははしょりますと

α=2*νとすると、

(Dt)φ=ν*(Dx)*(Dx)φ+g(t) (7)

という式が導出できます。
問題では、g(t)=0の特別な場合になっているようです。

誤記、誤解があったらゴメンなさい。

回答No.3

noname#2380

(6)より
(Dt)Ψ = (α/Φ)(Dt)Φ 　　　　　　　　　　　　　　（イ
(Dx)Ψ = (α/Φ)(Dx)Φ 　　　　　　　　　　　　　　　（ロ
(Dx)*(Dx)Ψ = -(α/Φ^2)(Dx)Φ + (α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ 　（ハ
と計算をされていますが、（ハの計算が異なるように思われます。
(Dx)Ψ = (α/Φ)(Dx)Φ 　
をさらにxで偏微分すると、
(Dx)*(Dx)Ψ=[(Dx)(α/Φ)](Dx)Φ+(α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ
となり、
-(α/Φ^2)[(Dx)Φ][(Dx)Φ] + (α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ 　
となります。たぶんこれでうまくいくのでは？
ゴメンナサイ。
あとα=2*νではなくα=-2*νの誤記です。

お礼

(Dx)*(Dx)Ψ = -(α/Φ^2)(Dx)Φ + (α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ 　（ハ
は
(Dx)*(Dx)Ψ = -(α/Φ^2){(Dx)Φ}^2 + (α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ 　（ハ '
の間違い、つまり
(fg)' = f'g + fg'
とすべき所を
(fg)' = f' + fg'
としてたという事ですね。

とても丁寧な解説、ありがとうございました。
今後ともよろしくお願いします。

回答No.2

noname#2380

Ｎｏ1でアドバイスさせていただきましたｂｌｕｅ＿ｍｏｎｋｅｙです。
ｔａｒｏｐｏｏ氏の質問を読み直すと、質問に対する直接的なアドバイス
になっていないようです。
ｂｌｕｅ＿ｍｏｎｋｅｙも、始めにｔａｒｏｐｏｏ氏のされたような方法で試みようとしたのですが、見通しが悪く、すごいことになりそうだと思いまして、少しやり方を変えてしまいました。このため、ｔａｒｏｐｏｏ氏の質問からはずれてしまったような気がします。
とりあえず、問題を解く手がかりとしていただければ幸いです。

補足

いえいえとんでもないです。
(4)への変形は目が覚める思いでした。これってさらっと積分してるんですよね？
同じく(5)も任意関数が出てくる所も納得です。
問題は(5)から(7)への変形なんですがどうもうまく行きません。

(6)より
(Dt)Ψ = (α/Φ)(Dt)Φ
(Dx)Ψ = (α/Φ)(Dx)Φ
(Dx)*(Dx)Ψ = -(α/Φ^2)(Dx)Φ + (α/Φ)(Dx)*(Dx)Φ
これらを(5)に代入すると
(α/Φ)(Dt)Φ + (1/2)(α/Φ)^2{(Dx)Φ}^2 - ν{-(α/Φ^2)(Dx)Φ + (α/Φ)(Dx)*(Dx)*Φ) = g(t)
この段階でg(t)=0としてしまい、全体を(α/Φ)で割ると
(Dt)Φ + (1/2)(α/Φ){(Dx)Φ}^2 + ν(1/Φ)(Dx)Φ - ν(Dx)*(Dx)*Φ) = 0
となるのですが、α=2νとしても
(Dt)Φ + (ν/Φ)[{(Dx)Φ}^2 + (Dx)Φ] - ν(Dx)*(Dx)*Φ) = 0
となってしまい、第２項が消えてくれません。
どこでミスってるんでしょうか？