数学 偏微分 方程式 について

質問

数学の偏微分方程式について教えて下さい。

1階線形偏微分方程式の問題で疑問に思ったので質問させて頂きます。

問題
∂u/∂x+∂u/∂x＝0

解答は、
u=f(x-y)「fは任意関数」でした。
任意関数fとはどんな関数でもいいのですか？
三角関数や指数関数はOKだと思いますが、
u=｜（x-y）｜やu=2（x-y）
さらに、u=x^2（x-y）など微分出来ればどんな関数でも
OKなんですか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

>u=f(x-y)「fは任意関数」でした。
>任意関数fとはどんな関数でもいいのですか？
関数の定義域の範囲でかつ微分可能性が保証されていることが前提条件です。

>三角関数や指数関数はOKだと思いますが、
f(t)=sin(t), f(t)=cos(t) はOKですが
f(t)=tan(t) は t=nπ+(π/2)でf(t)は未定義なので
未定義のところを除けばOKです。
f(t)=cos(2t)/(1-tan(t))はt=nπ+(π/2)でtan(t)が未定義、t=nπ+(π/4)で分母=0となり関数が未定義となるので、これらの点を除けばOKです。

>u=｜（x-y）｜やu=2（x-y）
u=｜（x-y）｜は x=yのところで微分が未定義なので、x=yのところを除けばOKです。
u=2（x-y）はOKです。

>さらに、u=x^2（x-y）など微分出来れば
これはu=f(x-y)のタイプではないので駄目です。

>どんな関数でもOKなんですか？
f(t)の定義域内であり、その範囲で微分可能である関数であればf(x-y)の定義域内であるかぎりOKです。

なお、対数関数の場合は
f(t)=2t/(1-log(t))では　定義域の条件ｔ=x-y>0 かつ 分母≠0の条件t=x-y≠e（ネイピア数）の範囲でOKです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解できました。

ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

確認だが, 方程式あってる?

補足

すいません。間違いました。

∂u/∂x+∂u/∂y＝0
です。

ご指摘ありがとうございます。