偏微分方程式 (∂^2 u)/(∂x∂y)=0続き

質問

※つい先ほど、質問させていただいた
偏微分方程式 (∂^2 u)/(∂x∂y)=0
http://okwave.jp/qa/q8116262.html
の続き（後半）です。
また、先週、質問させていただいた
「偏微分方程式 (∂^2 u)/(∂x^2)=0」
http://okwave.jp/qa/q8102140.html
にも関連しています（ややこしくて、すみません）。

u を x と y の関数として、次の偏微分方程式の解 u(x,y) の形を求めよ。

(∂^2 u)/(∂x∂y)=0

模範解答
(∂/∂x)(∂u/∂y)=0 であるから、

　　　　　∂u/∂y = φ(y)
　　　　　(φ(y)はyの任意の関数)

である。したがって、

　　　　　u = ∫φ(y)dy + θ(x)　　　　　←これに至るまでの過程が分かりません
　　　　　　= φ_1(y) + θ(x)
　　　　　(θ(x), φ_1(y)はそれぞれxおよびyの任意の関数)

となる。

・・・と本に書いてあります。
u = ∫φ(y)dy + θ(x)　に至るまでの過程が分かりません。

上記の「∂u/∂y = φ(y)
　　　　　(φ(y)はyの任意の関数)
である。」以降を自分なりに解いてみますと：

次に
　　　　　(∂/∂y){y・φ(y)} = φ(y)
となることを活かして
　　　　　∂u/∂y = (∂/∂y){y・φ(y)}
と変形する。これを移項して
　　　　　∂u/∂y - (∂/∂y){y・φ(y)} = 0
　　　　　(∂/∂y){u - y・φ(y)} = 0
w = u - y・φ(y)とおけば
　　　　　∂w/∂y = 0
となるので、例題の(1)式（http://okwave.jp/qa/q8102140.html参照のこと）と同様にして
　　　　　w = θ(x)
　　　　　（θ(x)はxの任意の関数）
u - y・φ(y) = wと戻すと
　　　　　u - y・φ(y)　= θ(x)
　　　　　u　= y・φ(y) + θ(x)
(θ(x), φ(y)はそれぞれxおよびyの任意の関数)

・・・となりました。
どのタイミングでu = ∫φ(y)dy + θ(x)にしないといけないのか、
そして、たとえ∂u/∂y = φ(y)の両辺をyで積分したとしても、
なぜいきなりθ(x)が出てきたのか分かりません。

ちなみに本の模範解答のφ_1(y)って、
φ(y)をyで掛けようが割ろうがyの任意の関数であることには変わりはないので、
もしかして私が出した答えのy・φ(y)と同じ意味でしょうか？

いろいろ質問してすみません。どうか教えて下さい。お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>「∂u/∂y = φ(y) (φ(y)はyの任意の関数)である。」

>u = ∫φ(y)dy + θ(x)　　　　　
>←これに至るまでの過程が分かりません

過程などありません。
yについての不定積分だから
原始関数：∫φ(y)dy
に積分定数を加えただけです。yについての不定積分なので
xについての任意関数θ(x)が積分定数となります。
ただそれだけのことです。

>　　　　　　= φ_1(y) + θ(x)
(θ(x), φ_1(y)はそれぞれxおよびyの任意の関数)>
上述の原始関数：∫φ(y)dyは積分形なので改めて
原始関数φ_1(y)で置き換えただけです。

>次に
>　　　　　(∂/∂y){y・φ(y)} = φ(y)
>となることを活かして
とはなりません。
(∂/∂y){y・φ(y)} = φ(y)+yφ'(y)
ですよ。
なので、あなたの折角の苦労も無駄でしたね。

お礼

理解できました！
yについての不定積分なので自動的にxについての任意関数θ(x)が積分定数になるんですね。
ということは、もしx, y, zの三次元になってyについての不定積分をしたら自動的に任意関数θ(x, z)が積分定数になっちゃうんでしょうね、きっと。

φ_1(y)は∫φ(y)dyを積分形じゃない形にした、という意味でしたか。私には積分形のままの方が分かりやすいです、たとえ任意の関数とはいえ。

遠回りをしていたようです。
でも、これからはお陰様で近道できそうです。(^^ゞ
ありがとうございました！