非線形偏微分方程式についてです。

質問

偏微分方程式の問題です。

∂u/∂t=(∂^2u/∂x^2)u^n (n>1) ---＊
の解を
u(t,x)=t^α • φ(ξ)
と置きます。
ここで、αは定数、 φ(ξ)はξに依存する実数上の関数です。
このとき、ξ=xt^β (βは定数）とおいて、
＊にu(t,x)を代入して具体的なφ(ξ)を求めようとしています。

しかし、u(t,x)を＊に代入した時に、αとβの定数をうまく操作する必要があると思うのですが、
何度か計算してみましたが＊を満たすようなφ(ξ)を求められずにいます。

具体的にαとβをどのように決めるとうまくいくのでしょうか？
どなたかレクチャーお願い致します・・・。

回答No.4

ibm_111 · ベストアンサー

**の式はnが入っていないようですが、どうやって消去したんでしょう？
ともかく自分が得た最終的な式は、質問者さんの記法に合わせると、

ω　-(ｎ/2)ξ(dω/dξ)　-n(n-1)ω^(n-2)(dω/dξ)^2　-nω^(n-1)(d^2ω/dξ^2)=0

※細かいことですが、1変数微分になったので、∂ではなくdで書いてます。

次に、

>(1)ξ+2(∂ω/∂ξ)=１＋2(∂^2ω/∂ξ^2)
を使おうとしましたが、＊＊とは符号が合わなく使えませんでした。
>(2)解をe^(cξ)とおいて考えましたが

これらの式はどこから出てきたんでしょう？
αとβを決定したあとの話でしょうか？

>やはり常微分方程式の形に直してからがうまくいきませんでした。

とある以上、解析的に解きたいということですか？
それは、テスト問題なら誘導があるのか、
実際の問題なら天才的な閃きがないと厳しいと思いますが。

補足

すみません、補足忘れておりました。
ω　-(ｎ/2)ξ(dω/dξ)　-n(n-1)ω^(n-2)(dω/dξ)^2　-nω^(n-1)(d^2ω/dξ^2)=0
において、n>1なので、簡単のためn=2として考えようとしたんです。

そうですか・・・。
自分に天才的なひらめきは絶対できませんが（笑）もう少し考えてみようと思います。

回答No.3

ibm_111

>u^nをxに関して２階偏微分するとnt^(αn+2β)w^(n-2){(m-1)(∂φ/∂ξ)^2+φ(∂^2φ/∂ξ^2)}

まずxの2階偏微分のほうから。
wはφ、mはnの誤植ですね。
それ以外はあってます。

>a=1,β=-n/2を代入すると、uを一階偏微分して出てきたβxt^(α+β-1)(∂φ/∂ξ)の項のxとtが消えないと思うのですが、私の勘違いでしょうか。

α+β-1=β(=-n/2)なので、xt^(α+β-1)=xt^β=ξとなって
うまい具合にξとφのみの方程式となります。

補足

見落としていました、ありがとうございます。
もしこの書き込みをご覧になっていたらお答えいただければと思うのですが、
やはり常微分方程式の形に直してからがうまくいきませんでした。

2ω(∂^2ω/∂ξ^2)＋2(∂ω/∂ξ)^2-ω＋ξ(∂ω/∂ξ)=0　---＊＊

一応、自分がどのように考えたか記述しておきます。

(1)ξ+2(∂ω/∂ξ)=１＋2(∂^2ω/∂ξ^2)
を使おうとしましたが、＊＊とは符号が合わなく使えませんでした。

(2)解をe^(cξ)とおいて考えましたが
　最終的に求めることができたωが＊＊を満たさなくうまくいきません。

もしお時間があればお答えいただきたいと思います。
お付き合いいただきありがとうございます。

回答No.2

ibm_111

写真はやはり見づらいですね・・・
乗ってしまった船なので、最後まで面倒を見ることにしましょう。
とはいえ、式を入力するのは面倒なので、
質問者さんが計算したところまで入力してもらえますか？

次に教えてgooを見るのはおそらく夜遅くになるので、
回答は遅くなります。悪しからず。

もちろんもっと親切な回答者が現れるのを
待ってみてもいいかもしれません。

補足

お返事ありがとうございます。
No.1の補足は忘れてください。
お手数おかけしてしまうことになりますので、自分でゆっくり考えます。

また、No.1のお礼の欄には誤った内容を書いてしまいましたので、ここで修正させていただきます。
a=1,β=-n/2を代入すると、uを一階偏微分して出てきたβxt^(α+β-1)(∂φ/∂ξ)の項のxとtが消えないと思うのですが、私の勘違いでしょうか。
これだけ教えていただきたいと思います。
夜遅くなってもお待ちしておりますので、負担にならない程度にお答えいただければと思います。
よろしくお願い致します。

回答No.1

ibm_111

答えだけ書くと、α=1、β=-ｎ/2とおくとうまく行きます（写真左下）。

写真はおそらく見づらいので、
方針だけ書いておくと：
1.ひたすら代入
2.s=xt^βなので、xとtが消えるようにαとβを決定

結果は中央一番下の式のようになります。

お礼

もうひとつ質問があります。
uをtに関して偏微分すると、αt^(α-1)φ＋βxt^(α-β-1)∂φ/∂ξ
u^nをxに関して２階偏微分するとnt^(αn+2β)w^(n-2){(m-1)(∂φ/∂ξ)^2+φ(∂^2φ/∂ξ^2)}となるのは合っておりますでしょうか。

このとき＊に代入して、α＝１、β＝-2/nとしてもxとtが消えないのですが、
私の計算ミスでしょうか・・・。

補足

画像まで添付していただきありがとうございます。
本当に感謝、感謝です。

自分自身、常備分方程式の計算が苦手で（もちろん自分が勉強不足もあります）
α=1、β=-ｎ/2と代入してからwを求めるまでの計算に自信がありません。
もし可能であれば、＊に代入してα=1、β=-ｎ/2と決めてからの途中計算を
少しタイピングしていただけないでしょうか？
添付していただいたのに、私のPCが悪いのか文字が識別できずにいます。

お手数おかけして申し訳ありませんが、お待ちしております。