無限領域での波動方程式の計算に出てくる偏微分方程式

質問

波動方程式の計算に出てくる、偏微分方程式の解の計算方法が分かりません。

本から引用します：

ここで、弦を伝わる波の問題などで使われる波動方程式
{ (∂^2) u(x,t) } / (∂t^2) - c^2 * { (∂^2) u(x,t) } / (∂x^2) = 0 (式7.33)
を考えてみよう。ここで、u(x,t)は座標xの位置での時刻tにおける弦の変位を表わし、cは正の定数とする。そして、∞に長い弦を考え（すなわち、-∞<x<∞の範囲で考え）、境界条件は、すべての
t>=0
に対して
u(x,t)→0 (式7.34)
(x→±∞)
を満たすとする。つまり、無限遠では波が存在しないとする。更に初期条件は
u(x,0) = f(x)
{ ∂u(x,t) } / ∂t |t=0 = 0 (式7.35)
とし、ここでf(x)は
x→±∞
で0に近付く絶対可積分な関数であるとする。また、上式の縦棒(|)の後のt=0は、「t=0での偏微分の値」という意味である。(式7.35)のように初期条件として2つの式を与えるのは、(式7.33)がtについて2階の微分方程式だからである。今の場合、xの無限領域での関数u(x,t)を取り扱うので、フーリエ変換を使った解法を用いればよい。

例題
初期条件(式7.35)と境界条件(式7.34)を満たす(式7.33)の解を求めよ。
[解] u(x,t)のxについてのフーリエ変換を
F(k,t) = ∫[-∞,∞] u(x,t) e^(-ikx) dx (式7.36)
と表す。(式7.33)にe^(-ikx)を掛け、xについて-∞から∞まで積分すると、熱伝導方程式(式7.20)を導いたときと同様な考え方から、
{ (∂^2)F(k,t) } / (∂t^2) + (c^2) * (k^2) * F(k,t) = 0 (式7.37) ←質問箇所
を得る。この微分方程式の解は、
F(k,t) = C[1](k) e^(ickt) + C[2](k) e^(-ickt) (式7.38) ←これをどう導いたのかが不明
であることが、代入すれば確かめられる。ここで、C[1](k)、C[2](k)は任意のkの関数で
ある。

・・・以上、引用終わり。

私は偏微分方程式自体、変数分離とかいう方法でサラッとやっただけで、上記の方法は見たことがありません。ネットで検索しましたが、同様の式を見つけることが出来ませんでした。そんな私が敢えて解こうとすると：

{ (∂^2)F(k,t) } / (∂t^2) + (c^2) * (k^2) * F(k,t) = 0
第2項を右辺に移項する
{ (∂^2)F(k,t) } / (∂t^2) = - (c^2) * (k^2) * F(k,t)
左辺の(∂t^2)と右辺のF(k,t)を交換する
{ (∂^2)F(k,t) } / F(k,t) = - (c^2) * (k^2) * (∂t^2)
両辺をtで積分する（もう既に未知の領域…きっと2乗が減って1乗になるのでしょう…）
ln{F(k,t)} * {∂F(k,t)} / F(k,t) = - (c^2) * (k^2) * ∫(1)(∂t^2)
ln{F(k,t)} * {∂F(k,t)} / F(k,t) = - (c^2) * (k^2) * t (∂t) + C[1](k)
もう一度両辺をtで積分するだろう雰囲気を漂わせたところでやめておきます。
もしかしたらln{F(k,t)}を積分しなければならないのでは、と思ったら思考が停止しました。多分、既に間違っているのでしょう。

…ということで、この偏微分方程式の解き方を教えて下さい。お願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

{(∂^2)F(k,t)}/(∂t^2)+(c^2)*(k^2)*F(k,t)= 0
で
D=∂/∂t
とすると
(D^2)F(k,t)+(c^2)*(k^2)*F(k,t)= 0
{D^2+(c^2)(k^2)}F(k,t)=0
(D-ick)(D+ick)F(k,t)=0
D(D+ick)F(k,t)-ick(D+ick)F(k,t)=0
D[e^{ickt}e^{-ickt}(D+ick)F(k,t)]-ick(D+ick)F(k,t)=0
ick(D+ick)F(k,t)+e^{ickt}D[e^{-ickt}(D+ick)F(k,t)]-ick(D+ick)F(k,t)=0
e^{ickt}D[e^{-ickt}(D+ick)F(k,t)]=0
↓両辺にe^{-ickt}をかけると
D[e^{-ickt}(D+ick)F(k,t)]=0
↓両辺をtで積分すると
e^{-ickt}(D+ick)F(k,t)=C
↓両辺にe^{ickt}をかけると
(D+ick)F(k,t)=Ce^{ickt}
DF(k,t)+ickF(k,t)=Ce^{ickt}
De^{-ickt}e^{ickt}F(k,t)+ickF(k,t)=Ce^{ickt}
-ickF(k,t)+e^{-ickt}De^{ickt}F(k,t)+ickF(k,t)=Ce^{ickt}
e^{-ickt}De^{ickt}F(k,t)=Ce^{ickt}
↓両辺にe^{ickt}をかけると
De^{ickt}F(k,t)=Ce^{2ickt}
↓両辺をtで積分し,C/(2ick)=C[1]とすると
e^{ickt}F(k,t)=C[1]e^{2ickt}+C[2]
↓両辺にe^{-ickt}をかけると
F(k,t)=C[1]e^{ickt}+C[2]e^{-ickt}

お礼

ありがとうございます。
すみません、
D[e^{ickt}e^{-ickt}(D+ick)F(k,t)]-ick(D+ick)F(k,t)=0
↓
ick(D+ick)F(k,t)+e^{ickt}D[e^{-ickt}(D+ick)F(k,t)]-ick(D+ick)F(k,t)=0
の計算過程を教えて下さい。
e^{ickt}だけDの外に出ているので、e^{ickt}の方だけtで偏微分したのかなとは思いますが、それで+ick(D+ick)F(k,t)が副次的に出てくる計算過程が分かりません。そういう一般式があれば教えて下さい。よろしくお願いします。

補足

ベストアンサーを差し上げます。
「積の偏微分」で理解できました。なんか部分積分を思い起こさせますね。
1 → e^{ickt}e^{-ickt}が出てくるところなどは多少天下り（下から逆算したのでは）と思えるところがありますが、計算過程が垣間見れたので私的には大満足です。
ありがとうございました。

回答No.2

f272

Fはkとtの2変数関数ですが，式7.37はtのみに関する偏微分方程式なので，tの関数のように扱えばよい。つまりF’’=-(ck)^2 Fです。
最も簡単な微分方程式F'=a*Fの解としてF=exp(at)があるということは常識的に知っているでしょう。またF''=b^2*Fの解としてF=exp(bt)とF=exp(-bt)があることも常識と言ってよいでしょう。さらに2階微分方程式の解は，１次独立な解の線形結合になることはどこかで習ったことと思います。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/differ_eq2.htm
従ってF’’=-(ck)^2 Fの解は，F=exp(ickt)とF=exp(-ickt)が１次独立であることから
F=C1*exp(ickt)+C2*exp(-ickt)
です。この場合の積分定数であるC1とC2はtに関しては定数ですが，kに関しては関数になるので
F(k,t)=C1(k)*exp(ickt)+C2(k)*exp(-ickt)
と書くことができます。

お礼

ご回答、ありがとうございます。
1次従属と1次独立は線形代数の時にやった記憶があります。なるほど、1次独立と判った時点であの一般解の式が使えるのですね。そしてC1とC2はkに関する関数にする、と。
実は、一般的にはこちらの回答の方が正しいような気がしてきましたが、No.1さんには補足もしていただいた労力も考えて、今回は見送らさせていただきます、すみません。でも大変勉強になりました。またのご回答をよろしくお願いします。
ありがとうございました。