1次元熱伝導方程式

質問

以下の問題で参考書に解法が載ってなかったので悩んでいます。

両端が熱的に絶縁されている場合
u_t=u_xx (0<x<1, 0<t<∞）
u_x(0, t)=0 (0<t<∞）
u_x(1, t)=0 (0<t<∞）
u(x, 0)=x (0≦x≦1)

基本解まで求めたところ、
u_n(x, t)=a_n*exp(-(n*pi）^2*t)*cos(n*pi*x)
となりました。
参考書には右辺のcosではなくsinの例しか載っておらず、
固有関数展開の係数a_nを求めるのに安直にt=0として両辺にcos(m*pi*x)をかけてxについて0から１まで積分したところ、
u(x, t)=Σ(-4/((2n+1)^2*pi^2))*exp(-((2n+1)*pi）^2*t)*cos((2n+1)*pi*x) nは0から∞まで
となりました。
しかし、この解が直感と異なる（定常解が0なのはおかしい）ので困っている次第です。
実際、u(0, 0)=-0.5 u(1, 0)=0.5 なのでちょうど初期条件から0.5ずれています。
原因はやはり固有関数展開の係数を求めるところにあるのでしょうか。

どうか解説をお願いします。

回答No.4

hikuta0924 · ベストアンサー

ごめんなさい、先程のNo.3でa_nを間違えていました。正しくは最初に仰っていた通り
a_n = 2/(nπ)^2 ((-1)^n - 1) = -4/(mπ)^2　（偶数）、0（奇数）
でした。
先に述べた式でグラフを描画したところ間違っていたのですが、訂正後のa_nを用いたところきれいな直線を描いたので、これで正しいかと思います。
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org3431229.png

「ちょうど0.5のずれ」は先に述べたように部分積分の場合分けから生じる1/2（定数項）を見落としていたことから生まれたのだと思います。
　　a_n = ∫x cos[m π x] dx
を計算すればa_1、a_2、・・・が求まりますが、a_0も求めなければなりません。しかし、
　　　　= [x (1/mπ) sin[m π x]] [0,1]　-　∫[0,1] (1/mπ) sin[m π x] dx
とmが分母に来てしまうため、m=0を代入できません。そこで、元の式から
　　a_0 = ∫x cos[0 π x] dx
　　　　= [x^2/2] [0,1]
　　　　=1/2
とすることで、a_0 = 1/2と求まり、
結局u[x,t]は元々の
Σ(-4/((2n+1)^2*pi^2))*exp(-((2n+1)*pi）^2*t)*cos((2n+1)*pi*x) nは0から∞まで
に1/2を足したものになるとおもうのですが、どうでしょうか？

回答No.3

hikuta0924

「境界条件を変えてみる」
http://my.reset.jp/~gok/math/pdf/anb04.pdf
ここに同様な問題が載っていました。

ここによれば、Ae610さんの仰る通り、n=1～∞では
a_n = 2∫[0→1](x cos nπx )dx = (-1)^n ・ 2/(n^2 π^2)　　・・・(1)
とるのですが、当方計算してみたところn=0の項も存在して、このとき
a_0 = 1/2
となるため、最終的に

u(x,t) = 1/2 + ∑[n=0,∞] 2/(n^2 π^2) exp(-t(nπ)^2) cos(nπx)

が解となりました。
このuでは定常解=1/2となることがわかり直感に一致すると思います。

基本解でt=0とおいてcos(mπx)倍して0→1で定積分するとき、部分積分を実行すると思いますが、(1)の式の形からもわかるようにn=0で場合分けが必要なので、1/2の項が出るのだと思うのですがどうでしょうか。

回答No.2

Ae610

ANo.1です。
ゴメンナサイ！
当方のミスです。境界条件をu(0,t)=0 , u(1,t)=0で計算してしまいました。
(∂/∂x)u(0,t) = 0 , (∂/∂x)u(1,t) = 0なのでしたね・・・！（ちゃんと確認しませんでした）
だとすると、質問者が出した基本解
u(x,t) = a_n・exp(-(nπ)^2・t)・cos(nπx)
で良いと思う。

重ね合わせの解も成立するとすると
u(x,t) = Σ[n=1～∞]a_n・exp(-(nπ)^2・t)・cos(nπx)
a_n = 2・∫[0→1]{xcos(nπx)}dx
・・・で求められるように思う。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

Ae610

定石通りに変数分離出来てu(x,t) = X(x)T(t)の解を仮定したときの2つの境界条件を使ってX(x)の関数形を求める際、感違いをしているものと思われる。

題意の境界条件からだとcosの側は残らずにsinの側のみ出てくる。
・・・なので基本解表現もcosではなくsinである。
u_n(x,t) = a_n・exp(-(nπ)^2・t)・sin(nπx)

重ね合わせの解も成立するとすると
u_n(x,t) = Σ[n=1～∞]a_n・exp(-(nπ)^2・t)・sin(nπx)
u_n(x,0) = x = Σ[n=1～∞]a_n・sin(nπx)
a_n = 2・∫[0→1]{xsin(nπx)}dx

お礼

回答ありがとうございます。
まだ自分の勘違いに気づけていないようです。
よろしければ
＞題意の境界条件からだとcosの側は残らずにsinの側のみ出てくる。
この過程を教えていただけないでしょうか。

境界条件がu_x(0, t)なので
u(x, t)=exp[-(nπ)^2*t]*(Asin(nπx)+Bcos（nπx））
と仮定したとき、xで偏微分して境界条件に代入するとsinが消えると思うのですが・・・