方程式の実数解の個数について

質問

正整数nに対して、関数u_n(x)を次のように定義する。

u_n(x)=1+x+(1/2!)x^2+(1/3!)x^3+…+(1/n!)x^n

(1)n=1, 2, 3, 4に対して、方程式u_n(x)=0の実数解の個数を調べよ。

(2)任意の正整数nに対して、方程式u_n(x)=0の実数解の個数を求めよ。

この問題がわかりません。解答をよろしくお願いします。

回答No.4

NemurinekoNya · ベストアンサー

(1)
f_1(x) = 1 + x = 0 （解 x = -1）　解の個数１
f_2(x) = 1 + x + x^2/2! = 0
　x^2/2 + x = 1 = 0の判別式をDとすると
　D = 1^2 -4/2*1 < 0
　よってf_2(x) > 0 　　　　…(a)
　実数解はない
f_3(x) = 1 + x/1 + x^2/2! + x^3/3!
　f_3(x)を微分すると
　f'_3(x) = 1 + x + x^2/2 = f_2(x)
　(a)よりf'_3(x)>0
　よってf_3(x)は（単調）増加関数　　　　　　　　　…(b）
　f3_x(-∞) = -∞
　f3_x(+∞) = +∞
　中間値の定理より-∞<x<+∞にf_3(x)=0を満たすxが存在する
　また(b)よりf_3(x) = 0 を満たすxは一つ
　よって実数解は１
f_4(x) = 1 + x/1 + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4!
　f_4(x)の増減を調べるためにf_4(x)を微分する
　f'_4(x) = f3_(x)
　f'_4(x) = f3_(x) = 0を満たす実数解は1個。それをαとすると
　f'_4(α) = f_3(α) = 0
f''_4(α) = f'_3(α) = f_2(α) > 0
　x=αの時f_4(x)は極小値
　f_4(x) >= f_4(α) = f_3(α) + α^4/4! = α^4/4!　(∵f_3(α) = 0)
　α = 0　なのは明らかなので
　f_4(x) >= α^4/4! > 0
　よって実数解なし

以上のことより
　f_1(x) = 0　は実数解1
　f_2(x) = 0 は実数解なし
　f_3(x) = 0　は実数解1
　f_4(x) = 0 は実数解なし

(2)
　nが偶数の時 f_n(x) = 0　の実数解はなし
　nが奇数の時 f_n(x) = 0 の実数解は一個

【証明】
n=1 の時　f_n(x) = 0 実数解の個数１個
n=2 の時 f_n(x) = 0 実数解はない

n=2k-1の時　f_n(x)=0 実数解の個数 1個と仮定する
n=2kの時　f_n(x)=0 実数解はなしと仮定する

n=2k+1の時
　f'_2k+1(x) = f_2k(x)
f_2k(x) = 0　を満たす実数解はないのでf_2k(x)>0 かf_2k(x)<0のいずれか
　f_2k(0) = 1 よりf_2k(x)>0
よってf_2k+1(x)は単調増加
　f_2k+1(x) = x^(2k+1)*{1/(2k+1)! + f_2k(x)/x^(2k+1)}
　f_2k+1(-∞) = -∞
f_2k+1(∞) = ∞
　よってf_2k+1(x)の実数解は1個

n = 2k+2の時
　f'_2k+2(x) = f_2k+1(x)
　f_2k+1(x)=0の実数解の個数は1個。それをαとする。
　f_2k+1(α) = 0
　またf''_2k+2(x) = f'_2k+1(x) = f_2k(x)
　f_2k(x)=0は実数解を持たないのでf_2k(x) > 0　かf_2k(x) < 0のいずれか
　f_2k(0) = 1よりf_2k(x) > 0
　f''_2k+2(α) < 0よりf_2k+2(α)は極小値
　f_2k+2(α) = α^(2k+2)/(2k+2)! + f_2k+1(α) = α^(2k+2)/(2k+2)! > 0
　よってf_2k+2(x)は実数解を持たない
証明終わり

僕は計算間違いが得意だから、計算を間違っていないかチェックしてね

お礼

解答ありがとうございました。おかげさまで理解できました。帰納法が頭に浮かばなかったので、自分はまだまだ修行不足ですね。

回答No.6

NemurinekoNya

ごめん、回答の一部に間違いがあるので、訂正します。

(1)
f_1(x) = 1 + x = 0 （解 x = -1）　解の個数１
f_2(x) = 1 + x + x^2/2! = 0
　x^2/2 + x = 1 = 0の判別式をDとすると
　D = 1^2 -4/2*1 < 0
　よってf_2(x) > 0 　　　　…(a)
　実数解はない
f_3(x) = 1 + x/1 + x^2/2! + x^3/3!
　f_3(x)を微分すると
　f'_3(x) = 1 + x + x^2/2 = f_2(x)
　(a)よりf'_3(x)>0
　よってf_3(x)は（単調）増加関数　　　　　　　　　…(b）
　f3_x(-∞) = -∞
　f3_x(+∞) = +∞
　中間値の定理より-∞<x<+∞にf_3(x)=0を満たすxが存在する
　また(b)よりf_3(x) = 0 を満たすxは一つ
　よって実数解は１
　f_4(x) = 1 + x/1 + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4!
　f_4(x)の増減を調べるためにf_4(x)を微分する
　f'_4(x) = f3_(x)
　f'_4(x) = f3_(x) = 0を満たす実数解は1個。それをαとすると
　f'_4(α) = f_3(α) = 0
　f''_4(α) = f'_3(α) = f_2(α) > 0
　x=αの時f_4(x)は極小値
　f_4(x) >= f_4(α) = f_3(α) + α^4/4! = α^4/4!　(∵　f_3(α) = 0)
　α = 0でないのは明らかなので　　　　　　（∵　f_4(0) = 1)
　f_4(x) >= α^4/4! > 0
　よって実数解なし

以上のことより
　f_1(x) = 0　は実数解1
　f_2(x) = 0 は実数解なし
　f_3(x) = 0　は実数解1
　f_4(x) = 0 は実数解なし

(2)
　nが偶数の時 f_n(x) = 0　の実数解はなし
　nが奇数の時 f_n(x) = 0 の実数解は一個

【証明】
n=1 の時　f_n(x) = 0 実数解の個数１個
n=2 の時 f_n(x) = 0 実数解はない

n=2k-1の時　f_n(x)=0 実数解の個数 1個と仮定する
n=2kの時　f_n(x)=0 実数解はなしと仮定する

n=2k+1の時
　f'_2k+1(x) = f_2k(x)
f_2k(x) = 0　を満たす実数解はないのでf_2k(x)>0 かf_2k(x)<0のいずれか
　f_2k(0) = 1 よりf_2k(x)>0
よってf_2k+1(x)は単調増加
　f_2k+1(x) = x^(2k+1)*{1/(2k+1)! + f_2k(x)/x^(2k+1)}
　f_2k+1(-∞) = -∞
　f_2k+1(∞) = ∞
　よってf_2k+1(x)の実数解は1個

n = 2k+2の時
　f'_2k+2(x) = f_2k+1(x)
　f_2k+1(x)=0の実数解の個数は1個。それをαとする。
　f_2k+1(α) = 0
　またf''_2k+2(x) = f'_2k+1(x) = f_2k(x)
　f_2k(x)=0は実数解を持たないのでf_2k(x) > 0　かf_2k(x) < 0のいずれか
　f_2k(0) = 1よりf_2k(x) > 0
　f''_2k+2(α) < 0よりf_2k+2(α)は極小値
　f_2k+2(α) = α^(2k+2)/(2k+2)! + f_2k+1(α) = α^(2k+2)/(2k+2)! > 0
（∵ f_2k+2(0) = 1 よりα≠0)
　よってf_2k+2(x)は実数解を持たない
証明終わり

回答No.5

kacchann

n=4のときはかつて東大理系の第一問(ようするに初級問題)で出ましたね。

いい問題ですね。
解答方針が大事。

回答No.3

Tacosan

結論は #2 の通りなんだけど, (1) の方針をそのまま (2) に適用することはできません.

ある関数 f(x) が「任意の x に対して正である」ことを示すにはどうすればいいでしょうか? #2 の u_3 の処理と合わせて考えてみてください.
u_2(x) = 1+x+(1/2)x^2 = (1+x) + (1/2)x^2
と書くと大ヒントになるかも.

で最後は帰納法.

回答No.2

DJ-Potato

U1(x) = 1 + x = 0
x = -1
　　　　　　　　　　A. 1個

U2(x) = 1 + x + 1/2・x^2
= 1/2(x^2 + 2x + 2)
= 1/2{(x+1)^2 + 1} > 0
　　　　　　　　　　A. 0個

U3(x) = 1 + x + 1/2・x^2 + 1/6・x^3
= 1/6(x^3 + 3x^2 + 6x + 6)
微分すると
1/6(3x^2 + 6x + 6)
= U2(x) >0
ゆえにU3(x)は単調増加なので、
　　　　　　　　　　A. 1個

U4(x) = 1 + x + 1/2・x^2 + 1/6・x^3 + 1/24・x^4
= 1/24(x^4 + 4x^3 + 12x^2 + 24x + 24)
= 1/24(x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 8x^2 + 24x + 24)
= 1/24{x^2(x^2 + 4x + 4) + 8(x^2 + 3x + 3)}
= 1/24{x^2(x+2)^2 + 8(x^2 + 3x + 9/4 + 3/4)}
= 1/24{x^2(x+2)^2 + 8(x + 3/2)^2 + 6} > 0
　　　　　　　　　　A. 0個

(2)は、答えから言うと、ｎが奇数の時は１個、偶数の時は０個、になるんじゃないかと思います。

回答No.1

Tacosan

どこが分からない?

補足

(1)はn=1,2,3のときは実数解の個数がそれぞれ1,0,1個とわかったのですが、n=4のときがわかりません。(2)に至ってはまったく分かりません。