二次方程式の異なる実数の解の個数

質問

X^-2aX+a^+a-1=0の異なる実数の解の個数を求めよ。という問題の解き方がまったくわかりません。どなたか詳しく解き方をおしえてください。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

x^2+bx+c=0 の判別式を利用すればいいでしょう。

判別式Ｄ＝b^2-4c

D>0 ならば実数解２個

D=0 ならば実数解１個（重解）

D<0 ならば実数解なし

この辺は学校で習っているはず。

D=b^2-4c=4a^2-4(a-1)=4(a^2-a+1)

ここで、さらに a^2-a+1=0の判別式を調べる
D'=1-4=-3<0
ということは、f(a)=a^2-a+1はゼロになることがない二次関数なので、常にf(a)>0。

ということは、D=4f(a)　なので、常にＤ＞０になります。

したがって、実数ａの値によらず、問題の方程式の実数解の個数は２個になります。

お礼

ありがとうございます。教科書もこの考え方ですが、ずっと丁寧にご説明いただいてよくわかりました。

回答No.3

turugi0802

まず

Y=X^2-2aX+a^2+a-1とおきます。

これを変形すると

Y=(X-a)^2+a-1

と書くことが出来ます。

こう変形するとこのグラフが下向きに凸で頂点(a,a-1)を通ることが分かります。

ここで、下向きに凸のグラフは
(1)頂点のY座標が0より大きい時　実数解=0
(2)頂点のY座標が0の時　　　　　実数解=1
(3)頂点のY座標が0より小さい時　実数解=2
となるのでaについての場合分けで解くことが出来ます。
頂点のY座標は(a-1)であるのでこのaの値がどのような値なら(1)～(3)の条件に当てはまるかを考えると分かると思います。

お礼

ありがとうございます。定期テストがせまるなか、大変参考になりました。

回答No.1

SteveStrawb

「^」というのは２乗の意味ですよね。
「^２」と書いたほうが一般的ですよ。

さて、解法のヒントを書いておきますね。

y = x^2 - 2ax + a^2 + a -1

とおいて、その２次元関数のグラフを考えてみましょう。
x^2の係数が１なので、下の凸なグラフになりますね。
その頂点の座標を求めることはできますね。

で、問題の式では y = 0 の解ですから、

(1) 頂点のy座標が0より大きい場合（x軸と交わらない場合）は実解なし。

(2) 頂点のy座標が0の場合（x軸上にある場合）は実解１つ。

(3) 頂点のy座標が0より小さい場合（x軸と交わる場合）は実解２つ。

と場合分けできます。

これでわかりますか？

お礼

ありがとうございます。これをヒントにもう少し考えてみます。