実数解の個数

質問

関数f(x)=x^3-27a^2x+16について
f(x)が単調に増加するときのaの値、方程式f(x)=0の異なる実数解の個数、f(x)の極大値と極小値、f(x)=0が異なる実数解を２個もつときのaの値
を求めよ。
という問題なんですが、微分した時点で止まってます。
実数解の個数を求めるには、y=f(x)のグラフとx軸の共有点のx座標を求めればいいと思うのですが、何から始めればいいかわかりません。
順をおって説明していただけませんか？お願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

f(x)の中のaは「a^2」で含まれているのでa≧0として考える。

>f(x)が単調に増加するときのaの値
f'(x)=3{x^2-9(a^2)}≧0が常に成立すれば良いから、a=0

>方程式f(x)=0の異なる実数解の個数
f"(x)=2x
f'(x)=0→x=±3aで極値
f"(3a)=6a>0
f"(-3a)=-6a<0
極大値f(-3a)=2(8+27a^3)>0,極小値f(3a)=2(8-27a^3)=2(2-3a)(4+6a+9a^2)
極小値>0の0<a<2/3で実数解は1個
極小値=0のa=2/3で実数解は2個(x=-4,x=2(重解))
極小値<0のa>2/3で実数解は3個

以上で求めるものは全て求まっています。
なお、最初にa≧0としましたが、それがいやなら上記の解でaの代わりに|a|で置換すればいいでしょう。

お礼

回答ありがとうございました。
丁寧に教えていただき、本当に感謝しています。
参考になりました！！

回答No.1

take_5

良く質問するね。
ちょつと考えただけですぐ質問するようじゃ、進歩しないよ。

f´(x)＝3(x＾2-9a＾2)において、-9a＾2≦0だから、f´(x)≧0であるためには？

次に(極大値)*(極小値)において、＞0、＝0、0＜の3つの場合で実数解は各々1個、2個、3個に分かれる。

極大値と極小値はa≠0として、a＞0とa＜0の場合で異なる。