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方程式
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- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
x＋y＝√2sin(α＋π/4) の両辺に絶対値をつけて、 |x＋y|＝√2|sin(α＋π/4)| （以前≦で書きましたが、＝でよいです） これはお分かり？ √2は正なので、|√2|＝√2です。 また、一般に２つの数xとyについて、|xy|＝|x|×|y|が成り立つのも 大丈夫？ また、αがどんな値をとっても|sin(α＋π/4)|は１以下なのはわかりますね。 なので、 |x＋y|＝√2|sin(α＋π/4)|≦√2×1＝√2 x+y＝1+√2または、1-√2でしたが、 |1+√2|＞√2、|1-√2|＜√2 なので、x+y＝1-√2のほうが条件を満たし、 x+y＝1-√2 >>1＋√2は絶対値が1より大きく、1－√2は絶対値が0.4142… で1より小さいので、x＋y＝1－√2 と書いたのは、 >>1＋√2は絶対値が√2より大きく、1－√2は絶対値が0.4142… で√2より小さいので、x＋y＝1－√2 と書いたほうがよかったですね。（あまり集中してやってるわけでは ないので、ほかにも打ち間違いがあるかも知れません・・・） 加法定理を使えば sinα－cosα＝√2sin(α-π/4) cosα－sinα＝√2cos(α+π/4) などとあらわされますが、sin(4/π)＝cos(π/4)なので、 違うあらわしかたもあります。 お見受けするところ、あまり慣れていないようなので、 三角関数の問題をたくさんやって、感覚をつかまれることを お勧めします。 公式をある程度暗記するのも大事ですが、何回も何回も公式を 導き出す練習をやって、忘れてもすぐ導けるくらいにしておくことです。 たいがいは、(sinα)^2＋(cosα)^2＝１や加法定理からどんな公式も ひねり出すことができます。
- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
なんか、すっきりしないようなので、私もちょっと 書いてみます。 sinα＝x、cosα＝yとおくと、 x＋y＝xy・・・(1) また、 (x^2)＋(y^2)＝1・・・(2) の関係もあります。 (1)の両辺を２乗すると、 (x＋y)^2＝(xy)^2 (x^2)＋2xy＋(y^2)＝(xy)^2 ここで、(2)を使うと、 1＋2xy＝(xy)^2 （(2)を利用したいので、２乗を考えた） 見やすくするために、xy=tとおくと、 1＋2t＝t^2 (t^2)－2t－1＝0 これは簡単に解けると思いますが、 t＝1±√2、すなわちxy＝1±√2 また、(1)からxy＝x＋yとしているので、 x＋y＝1±√2 ここで、±のどっちを取るかですが、加法定理によって、 x＋y＝sinα＋cosα＝√2{(1/√2)sinα＋(1/√2)cosα} ＝√2{cos(π/4)・sinα＋sin(π/4)・cosα} ＝√2sin(α＋π/4) より、 |x＋y｜≦|√2sin(α＋π/4)|≦√2|sin(α＋π/4)|≦√2 1＋√2は絶対値が1より大きく、1－√2は絶対値が0.4142… で1より小さいので、x＋y＝1－√2 sinα＋cosαを加法定理で√2sin(α＋π/4)にするのは結構有名です。 ちなみに、 「cosα－sinα＝sinαcosαのとき、cosα－sinαの値を求める」 を考えてみたらどうでしょう？ 今度はcosの加法定理を利用することになると思います。 （まだ、すっきりしない？それとも解決済み？）
補足
ご連絡が遅くなってすいません。 丁寧な解説ありがとうございます。 お聞きしたい事があるのですが、 >|x＋y｜≦|√2sin(α＋π/4)|≦√2|sin(α＋π/4)|≦√2 についてよく分からないので1＋√2は絶対値が1より大きく、1－√2は絶対値が0.4142…について理解できません。 で1より小さいので、x＋y＝1－√2 sinα-cosαは 加法定理より√2sin(α-π/4) cosα－sinαは cos（α-β)=cosαcosβ＋sinαsinβより √3(α＋π/4)ですか？
- lick6
- ベストアンサー率32% (25/77)
-1 ≦ sinθ ≦ 1 ですから α に範囲が無いのであれば 2α だろうが「sin」の範囲はこのままです。 α に範囲があるのなら単位円を書けばわかりやすいと思います。
- lick6
- ベストアンサー率32% (25/77)
sin の倍角の公式を使えば sinαcosα の範囲は出せますよ。
補足
解説ありがとうございます。 2倍角の公式から sin2α=2sinαcosα sinαcosα=(1/2)sin２α からどのように範囲を求めるのか分かりません。
- poosan0011
- ベストアンサー率22% (44/200)
sinα＋cosαの値を求めるということはsinαcosαの値を求めればよい訳です。与式の両辺を２乗すればsinαcosαの２次方程式になりますから、置き換えなくても解けます。 それから最後に解の吟味が必要です。sinαcosαの値の範囲は？
補足
sinαcosαの値の範囲はどのように求めるのかわかりません。 sinxは -1≦x≦1 cosxも -1≦x≦1
- killer_7
- ベストアンサー率57% (58/101)
#2,3への補足への回答 x+y=t,xy=tを満たす実数x,yが存在するような 実数tの範囲を調べているのです． そのためには，解と係数の関係から， uについての2次方程式 u^2-tu+t=0 が実数解をもつことが必要十分です．
補足
u^2-tu+t=0のおき方を教えてくれませんか？
- age_momo
- ベストアンサー率52% (327/622)
○ココでX＋Y=ｔ、ＸＹ＝tと置くのが分かりません。 今、問題が聞いているのはX(つまりsinα)でもY(つまりcosα)でもありません。 X+Y(つまりsinα+cosα)です。これを変数に置いてしまうことでsinα、cosαの 個別の値を出さなくても問題が解けます。私にはむしろそれぞれをX、Yと置く 必要性が分かりません。その先は他の回答者さんも書いておられますが t=sinα+cosα(=sinαcosα) 両辺を2乗して t^2=(sinα)^2+(cosα)^2+2sinαcosα=1+2t (∵sinαcosα=t) t^2-t-1=0 よって ｔ=sinα+cosα=1±√2
補足
(t＾2)-4t≧0より t≦0またはt≧4 t=1-√2 を求める為に (U＾2)-tu＋t=0 を求めたいたいのですが、必要はないですか？
- proto
- ベストアンサー率47% (366/775)
sinα+cosα = sinαcosα = t と置くと t^2 = (sinα+cosα)^2 = (sinα)^2 + (cosα)^2 + 2sinαcosα (sinα)^2 + (cosα)^2 = 1 sinαcosα = t と先ほど置いたので、上の式の右辺は t^2 = 1+2t よって t^2-2t-1 = 0
補足
(u＾2)-tu＋t=0がどのように出るのかが分からないので教えて頂けませんか？
- killer_7
- ベストアンサー率57% (58/101)
解と係数の関係というよりは， x^2+y^2=1 から， (x+y)^2-2xy=1 であって，いまx+y=xyだから，これをtとすると（x+y=xy=tとすると） 2次方程式 t^2-2t=1 を解けばよい，ということでしょう．
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