微積（微分方程式）の解法と解答
- 一般解を求めるための微分方程式の解法について教えてください。
- 問題の解法には、y' + 2y tan x = sin x を解く手順があります。
- 正しい解法を使うと、一般解は y = cos x + C cos^2 x となります。
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微積（微分方程式）
下記の問題の解き方を教えてください。 １．一般解を求めよ y' + 2y tan x = sin x (答え：y = cos x + C cos^2 x)・・・(1) ＜自分の解いたやり方(間違っています)＞ y' + 2y tan x=0 y'= -2y tan x ∫(1/ (2y)) dy = -∫(sin x / cos x) dx log |y| = 2log |cos x| + 2C y/cos^2 x = ±e^2C(=Aとおく) y = u cos^2 x y' = (u'cos^2 x )-2u cos x sin x=(u'cos^2 x )-u sin 2x これを(1)へ代入 u' cos^2 x = sin x u'=(1-cos^2 x)/cos^2 x ∫du = ∫((1/cos^2 x) - 1) dx u=tan x - x + C y=u cos^2 x = cos^2 x(tan x - x + C) // よろしくお願いします。
- tki-
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間違いの箇所は、 u' cos^2 x = sin x から u' = (1 - cos^2 x)/cos^2 x の変形です。 凡ミスですね。 u' = sin^2 x/cos^2 x ではなく、 u' = sin x/cos^2 x ですから、 積分すれば、 u = 1/cos x + (定数) となります。 それはともかく、 y' + 2y tan x = 0 とか y = u cos^2 x とか 何の説明もなく書いてしまっている点が気になります。 式ばかりズラズラ書かないで、少し日本語らしく 自分の考えの筋道を書くほうかよい と思います。
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