三角方程式

質問

(1)ｔ=sinθ+cosθとおく。sinθcosθをtを用いて表せ。
(2)0≦θ≦πのとき、t=sinθ+cosθのとりうる値の範囲を求めよ。

(3)0≦θ≦πのとき、θの方程式　2sinθcosθ-2(sinθ+cosθ)-k=0の
解の個数を、定数kが次の３つの値の場合について調べよ。

k=1 k=1-2√2 k=-1.9

【自分の解答】
(1)sinθcosθ=(t^2 -1)/2
(2)-1≦t≦√2

(3)方程式は、tで表すと、
t^2 -2t-1-k=0となる。
y=t^2 -2t-1=kとすると、
y=(t-1)^2 -2 　(-1≦t≦√2)

y=(t-1)^2 -2 のグラフとy=kの交点の個数を考えると、
k=1のとき、解の個数は１個
k=1-2√2のとき、解の個数は２個
k=-1.9のとき、解の個数は２個

しかし、t=-1.9のとき、解は３個です。答えは
どうしてこうなるのか、解説お願いします(>_<)

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>しかし、t=-1.9のとき、解は３個です。答えは
>どうしてこうなるのか、解説お願いします
(3)の問題文を良く見て下さい。
>θの方程式　2sinθcosθ-2(sinθ+cosθ)-k=0の
>解の個数
と書いてありますね。つまりθの解の個数を求めないといけません。
質問者さんの答えの解の個数は
tの方程式
　t^2 -2t-1-k=0
の解の個数ですね。

> y=(t-1)^2 -2 のグラフとy=kの交点の個数を考えると、
> k=1のとき、解の個数は１個
> k=1-2√2のとき、解の個数は２個
> k=-1.9のとき、解の個数は２個

t=(√2)sin(θ+(π/4)) (0≦θ≦π) …（◆）
なので
k=-1.9のとき
　t^2 -2t-1-(-1.9)=0
を解くと
　t=0.68…, t=1.316…
（◆）より π/4≦θ+(π/4)≦5π/4　の範囲で
　sin(θ+(π/4))=0.68…/√2<1/√2)　→θの解は1個
　sin(θ+(π/4))=1.316…/√2>1/√2　→θの解は2個
θの解の個数は合計3個
となります。

【確認】他の場合のtの解の個数とθの個数について調べてみて個数が同じか確認してみて下さい。

お礼

詳しい回答ありがとうございました☆