• ベストアンサー

三角関数の問題です

kを定数としてθの方程式cos2θ=ksinθ (-π/2≦θ≦π/2)を考える。 (1) この方程式が異なる2つの解を持つようなkの値の範囲を求めよ。 (2) kが(1)の範囲にあるとして、2つの解をθ=‪α‬,βとおく。sin‪α‬sinβの値を求めよ。 さらに、sin‪α‬+sinβ, cos(‪α‬+β)の値をkを用いて表せ。 この問題が分からないので、解法を教えていただきたいです!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2127/6289)
回答No.1

cos2θ = cos^2θ - sin^2θ = 1 - 2sin^2θ = ksinθ 2sin^2θ + ksinθ - 1 = 0 sinθ = tとおくと、2t^2 + kt - 1 = 0 (-1 ≦ t ≦ 1) これが閉区間[-1, 1]において異なる2つの実数解をもつから、 以下の条件がすべて成り立てばよい。 f(t) = 2t^2 + kt - 1とおく。 判別式 > 0 ... (1) 軸 t = -k/4について、-1 < -k/4 < 1 ... (2) f(-1) ≧ 0 ... (3) f(1) ≧ 0 ... (4) (1)より、k^2 + 8 > 0, これは必ず成り立つ (2)より、-4 < k < 4 (3)より、-k + 1 ≧ 0, k ≦ 1 (4)より、k + 1 ≧ 0, k ≧ -1 よって求めるkの範囲は-1 ≦ k ≦ 1 2t^2 + kt - 1 = 0の2解をm, nとすると、解と係数の関係から m + n = -k/2, mn = -1/2 m = sinα, n = sinβとなり、sinα + sinβ = -k/2, sinαsinβ = -1/2 cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ = cosαcosβ + 1/2 -π/2 ≦ α, β ≦ π/2より、cosα ≧ 0, cosβ ≧ 0 cosα = √(1 - sin^2α), cosβ = √(1 - sin^2β) cosαcosβ = √((1 - sin^2α)(1 - sin^2β)) = √(1 - sin^2α - sin^2β + sin^2αsin^2β) (sinα + sinβ)^2 = sin^2α + 2sinαsinβ + sin^2β = sin^2α + sin^2β - 1 sin^2α + sin^2β = k^2/4 + 1 cosαcosβ = √(1 - k^2/4 - 1 + 1/4) = √((1 - k^2)/4) = (1/2)√(1 - k^2) ∴cos(α+β) = 1/2 + (1/2)√(1 - k^2) = (1/2)(1 + √(1 - k^2)

すると、全ての回答が全文表示されます。
このQ&Aのポイント
  • SC-PXVLを使用したプリント時にエラーが発生し、印刷ができない状況について質問です。
  • 光沢紙の印刷時速度が低下するというエラーが表示されています。
  • 日曜日であるためエプソンに連絡が取れない状況で、解決方法を教えてください。
回答を見る

専門家に質問してみよう