三角関数について

質問

ｋは定数とする。θの方程式
２（√３sinθ－cosθ）＋（√３sin２θ＋cos２θ）＝ｋ（０≦θ≦π）
について次の問いに答えよ。

（１）t＝√３sinθ－cosθとおくとき、tをrsin（θ＋α）の形（r＞０、－π＜α≦π）に変形せよ。また、tの取りうる値の範囲を求めよ。

（２）（１）のtについてt^2を計算して、
√３sin２θ＋cos２θをtの式で表せ。

（３）θの方程式
２（√３sinθ－cosθ）＋（√３sin２θ＋cos２θ）＝k（０≦θ≦π）の解の個数を分類しなさい。

この問題で
（１）　t＝２sin（θ＋２／３π）　－１≦t≦２

（２）√３sin２θ＋cos２θ＝－ｔ^2＋２
と答えがでて、

（３）ｙ＝ｋとｙ＝－ｔ^2＋２ｔ＋２が共有点について調べればよい。までわかったんですが、そこからθの個数について分類するまでが分かりません。　

解答は
k＜－１，３＜ｋのとき解θは０個
－１≦ｋ＜２のとき解θは１個
ｋ＝２，３のとき解θは２個
２＜ｋ＜３のとき解θは３個
となっていますが、０個の分類はわかるんですが、１～３個までの分類の仕方が分からないので教えてください。

回答No.2

debut · ベストアンサー

（１）は２sin(θ＋α)＝√３sinθ－cosθから
　　　cosα=√３/２、sinα=－１/２なので、α＝－π/６
　　　じゃないでしょうか？

（３）
f(t)=-t^2+2t+2=-(t-1)^2+3（－１≦t≦２）のグラフと直線f(t)=k
をかきましたよね。すると、
　Ａ．k＜－１，３＜ｋで交点なし
　Ｂ．－１≦ｋ＜２とｋ＝３で１点で交わる
　Ｃ．２≦ｋ＜３で２点で交わる
とわかります。

ここで、θ-π/6＝Ｘ（5π/6≦Ｘ≦-π/6)とするとｔ＝２sinＸ、つまり
ｔ/２＝sinＸのＸの値がｔ/２の値によって何個になるか考えて
おきます。（単位円をかいてみてください）
（それから、Ｘの個数はそのままθの個数でもあります）
Ｘの範囲を考えると、
(ア)-1/2≦ｔ/２＜1/2とｔ/２＝１でＸは１つ、
(イ)1/2≦ｔ/２＜１でＸは２つ　　になります。

すると、ｋ＝２などは特別だと頭において、さっきのグラフを
見ながら、
・ｋ＝３は、ｔ＝１（つまりt/2=1/2）だから（イ）のパターンで
　Ｘは２つ。
・ｋ＝２は、ｔ＝０,２（つまりt/2=0,1）だからどちらも（ア）の
　パターンでＸは合計２つ。
・２＜ｋ＜３は、０＜ｔ≦１（つまり０＜t/2≦1/2）だから（ア）
　のパターンでＸは１つと、１＜ｔ＜２（つまり1/2＜t/2＜1）
　だから（イ）のパターンでＸは２つ　の合計３つ。
・－１≦ｋ＜２では、－１≦ｔ＜１（つまり-1/2≦t/2＜1/2）だから
　（ア）のパターンでＸは１つ
と場合分けができることがわかります。

話をしながらなら簡単だけど、書いてみるとなんだかわからない
かもしれません。
そのときは、どうぞスルーしてくださいな。

回答No.1

GrEeEeNe

三角関数の問題なのでy=kとy=-t^2+2t+2の共有点がたとえ２個であってもθの個数は２個とは限りません。
ちなみに関関同立の試験問題に良く似ているような気がします。