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高校数学

高校数学 【三角関数】 〈三角方程式の解の個数〉 0≦θ≦πのとき、θの方程式 2sinθcosθ-2(sinθ+cosθ)-k=0の解の個数を、定数kが次の2つの値の場合について調べよ。 k=1,k=-1.9 答え:k=1のとき1個,k=-1.9のとき3個 できるだけ詳しい解説をお願いします 。o@(・_・)@o。

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  • info222_
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回答No.4

No.3です。 ANo.3とは別解です。 k=1,-1.9のそれぞれについて解を直接求める解法です。 解を表わすには逆三角関数が必要です。 逆三角関数を用いないと実際の解は表現できません。 f(θ)=2sinθcosθ-2(sinθ+cosθ) -k =(sinθ+cosθ)^2-1-2(sinθ+cosθ)-k =(sinθ+cosθ-1)^2-2-k k=1 のとき f(θ)=(sinθ+cosθ-1)^2-3 f(θ)=0の解は  sinθ+cosθ-1=±√3  √2sin(θ+(π/4))=1±√3 |sin(θ+π/4)|≦1より  √2sin(θ+(π/4))=1-√3 0≦θ≦πより π/4≦θ+π/4≦5π/4 なので  θ=-(π/4)+π+sin^-1((√3-1)/√2)=(3π/4)+sin^-1((√3-1)/√2) θの解は1個 k=-1.9 のとき f(θ)=(sinθ+cosθ-1)^2-0.1=0の解は  sinθ+cosθ-1=±√0.1  √2sin(θ+(π/4))=1±(1/√10)  √2sin(θ+(π/4))=(√10±1)/√10 0≦θ≦πより π/4≦θ+π/4≦5π/4 なので  θ=sin^-1((√10+1)/√20)-(π/4), (3π/4)-sin^-1((√10±1)/√20) θの解は3個

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その他の回答 (3)

  • info222_
  • ベストアンサー率61% (1053/1707)
回答No.3

2sinθcosθ-2(sinθ+cosθ)-k=0 (0≦θ≦π) …(1) の解の個数は  y=f(θ)=2sinθcosθ-2(sinθ+cosθ) …(2) と  y=k …(3) の縦軸y,横軸θのグラフの範囲(0≦θ≦π)における交点の数に等しいから (2)のグラフを範囲(0≦θ≦π)で描いて、y=1とy=-1.9との交点数を調べればよい。 添付図のグラフより (2)のグラフ(黒線)と直線y=1(赤線)の交点数は1個、 (2)のグラフ(黒線)と直線y=-1.9(青線)の交点数は3個 と判る。

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  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)
回答No.2

少し詳しく書くと >(sinθ+cosθ)^2=1+2sinθcosθだから、与式は (sinθ+cosθ)^2-2(sinθ+cosθ)-k-1=0となるので、 sinθ+cosθの二次方程式として解の公式で解くと sinθ+cosθ=[2±√{4-4(-k-1)}]/2=1±√(2+k) f(θ)=sinθ+cosθとおくと f'(θ)=cosθ-sinθ cosθ>sinθ、すなわち0≦θ<π/4でf(θ)は増加 cosθ=sinθで、すなわちθ=π/4でf(θ)は極大 cosθ<sinθで、すなわちπ/4<θ≦πでf(θ)は減少 θ=0でf(θ)=1 θ=π/4でf(θ)=√2 θ=π/2でf(θ)=1 θ=3π/4でf(θ)=0 θ=πでf(θ)=-1 以上からf(θ)のグラフを描くと分かり易い。 k=1の場合、sinθ+cosθ=1±√(2+k)=1±√3となるが 1+√3>√2だから対象外。sinθ+cosθ=1-√3となる θの個数は、-1<f(θ)=1-√3<0だから3π/4<θ<π に1個ある。 k=-1.9の場合、sinθ+cosθ=1±√(2+k)=1±√0.1 0.3=√0.09<√0.1<√0.16=0.4だから 1<1.3<f(θ)=1+√0.1<1.4<√2、すなわち 1<f(θ)<√2を満たすθは0<θ<π/2に2個ある。 又、上式から-0.3>-√0.1>-0.4だから 0.7=1-0.3>f(θ)=1-√0.1>1-0.4=0.6、すなわち 0.7>f(θ)>0.6を満たすθはπ/2<θ<3π/4に1個ある。 よって、k=-1.9の場合に解の個数は合計3個になる。

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  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2965)
回答No.1

sinΘ+cosΘ=xとおくと、 2sinΘcosΘ=x^2-1 これで与えられた方程式はxの二次方程式になり、xが求められます。 次にsinΘ+cosΘの増減表を作り、その値が上記で求めたxの値 になる点がいくつあるか調べます。いくつあるかが判ればいいので、 Θについて解く必要はありません。

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このQ&Aのポイント
  • 金属メッキされた部分が無くなってしまい、温めても上手くはんだが付いてくれません。
  • この状態から復帰可能でしょうか?
  • Keyball61という自作キーボードの基板です。
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