解が三角関数で表される２次方程式

質問

解が三角関数で表される２次方程式

aを正の定数とし、Θを0<=Θ<πを満たす角とする。このとき、２次方程式2x^2-2(2a-1)x-a=0の２つの解がsinΘ,cosΘであるという。a,sinΘcosΘであるという。
a,sinΘ,cosΘの値をそれぞれ求めよ。

与えられた２次方程式に対し、解と係数の関係からsinΘ+cosΘ=2a-1・・・・(1)
sinΘcosΘ=-a/2・・・・・(2)
(1)の両辺を２乗すると,sin^2Θ+cos^2Θ=1であるから1+2sinΘcosΘ=(2a-1)^2
これに(2)を代入して整理すると a(4a-3)=0
a>0であるからa=3/4

教えてほしいところ
sinΘやcosΘは取り得る範囲が決まっていますよね？？？
よって、sinΘ+cosΘ=2a-1・・・・(1) sinΘcosΘ=-a/2とおいた時点でaの取り得る範囲が制限されるはずです。
よってa>0という条件に加えてさらにaの取り得る範囲は狭まるはずです。
ふつうの方程式のように解けば当然、そのようなことは考慮に入れていません。ですので、範囲の確認が必要なはず。
なのになぜ、a>0という条件しか確認しないんでしょうか？？？

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

以前の質問 q6271962 でも、回答したことですが…

a の値が、Θ との関係によって制限を受けるか否かは、
求めた a の値を代入して
Θ の方程式を解くときに判ることです。

a が、Θ によって制限される範囲を外れていれば、
対応する Θ が存在しないので、
それと解ります。

前もって、a の範囲を限定しておく必要は
ないんですよ。

回答No.2

Mr_Holland

＞よって、sinΘ+cosΘ=2a-1・・・・(1) sinΘcosΘ=-a/2とおいた時点でaの取り得る範囲が制限されるはずです。

　その通りです。
　その結果　a=0,3/4　に限定されたのです。

＞よってa>0という条件に加えてさらにaの取り得る範囲は狭まるはずです。

　これもその通りです。
　a>0 によって　a=3/4　に範囲は狭まりました。

＞ふつうの方程式のように解けば当然、そのようなことは考慮に入れていません。ですので、範囲の確認が必要なはず。

　ここには誤解があります。
　既に式（1）と式（2）だけから　範囲がかなりピンポイント（a=0,3/4）に限定されたのです。考慮に入っていますよ。

回答No.1

noname#121794

a>0という条件のもとで考えているんだろ。確認も何もない。

>>これに(2)を代入して整理すると a(4a-3)=0
a>0であるからa=3/4

ここまではsinΘ、cosΘの値が分かっていないのだからaのみが題意に適しているかどうか考えればよい。

その後に
sinΘ+cosΘ=2a-1、 sinΘcosΘ=-a/2となるようにsinΘ、cosΘを定めればよいだけの話。