高校数学、三角関数の問題！cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)の値は？
- 三角関数の問題で、cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)の値を求める方法についての質問です。
- 問題を解くために、θ=2π/7とおいてそれを用いて式変形を行いました。
- 結果として、cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)は-1/2となります。なぜこのように言えるのかわかりません。
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高校数学、三角関数の問題です。
cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)の値を求めよ。 θ=2π/7 cosθ=x とおく θ=2π/7 7π=2π………………………両辺を7倍 4θ=2π-3θ…………………両辺に-3θを加える cos4θ=cos(2π-3θ)…………三角関数をとる 0=8x^4-4x^3-8x^2+3x+1………式変形、cosθ=x 0=(x-1)(8x^3+4x^2-4x-1)………(x-1)でくくる 0＝1，0=8x^3+4x^2-4x-1………0<θ<π/2なのでcosθ=x≠1 0=8x^3+4x^2-4x-1………………(1) 「(1)の３解はx＝cos(2π/7)，cos(4π/7)，cos(6π/7)となっているので」 三次方程式の解と係数の関係より cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)＝-1/2である□ 先生がこのように解説したのですが 「」←かぎかっこ部分がなぜ言えるのかわかりません。 わかる方、ご教授願います。
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(1)の解のひとつがx＝cos(2π/7)になっていることはわかるんだよね。 だって，θ=2π/7 からはじめたんだからね。 でも，ここでθ=4π/7やθ=6π/7からはじめても，結局同じ式になると思わないか？ cos(2π-3θ)=cos(4π-3θ)=cos(6π-3θ)
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お礼
ああ！！ 本当ですね(°д°) 完全に盲点でした。 cosの周期は2πだから結局同じになるんですね。 スッキリしました、ありがとうございます。