この三角関数の問題を教えてください。

質問

この三角関数の問題を教えてください。
問題は
cos2x+2acosx=3a
であるとき、０≦x＜2πの範囲にある解の個数は、実数aの値によってどのように変わるか。
です。
僕はこの方程式をaについて解いたんですけど、その先がわかりません。
あなただったら、まず最初に何をしますか？
どうやってこの問題を解いたらいいんでしょうか？

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

cos2x+2acosx=3aより

a=cos2x/(3-cosx)=(2cosx^2-1)/(3-2cosx)

t=cosxとおくと

a=(2t^2-1)/(3-2t)

従ってt-y平面において

y=(2t^2-1)/(3-2t)　　(1)
y=a (2)

の交点を調べればよい
０≦x＜2πよりtの範囲は
-1≦ｔ≦1　(3)

この問題は曲線(1)が正しく描けるかどうかで決まります。

y=(2t^2-1)/(3-2t)=-(t+3/2+(4/7)/(t-3/2))

より、これは
直線y=-(t+3/2)　　(4)
と
双曲線y=-(7/4)/(t-2/3)　　(5)
を加え合わせたものであることが解ります。
また(1)をtで微分して
dy/dt=-(t^2-9t+1/2)/(t-3/2)^2
dy/dt=0となるのは
t=(3±√7）/2　　　　　(6)
です。

増減表を書いてしっかりグラフを書いてください。

(1)は
t=-1 : y=1/5
から減少して
t=(3-√7）/2=0.18.. : y=√7-3
で極小、ここから増加して
t=1：ｙ=1

答え
a<√7-3 解は0
a=√7-3 解は1(重解）
√7-3<a≦1/5 解は2
1/5<a≦1　　　解は1
1<a 解は0

回答No.3

mister_moonlight

微分は最後の手段、乱用しないように。数IIで十分。

cosx＝t (｜t｜≦1)とすると、条件式は2t＾2-1＋2at＝3a　であるから　2t＾2-1＝-2a(t-3/2)と変形できる。
従って、放物線：y＝2t＾2-1と定点(3/2、0)を通る傾きが　-2aの直線：y＝-2a(t-3/2)との交点の数として求められる。　但し、｜t｜≦1　の範囲で。
放物線と直線が接する時のaの値は判別式＝0で求められるし、グラフから放物線は固定されていて直線が動くという、数Iでやった方法を三角関数に持ち込んだに過ぎない。
とは言え、xとtの対応(＝tの一つの値に対して　xの値が1個か2個か)については十分に注意が必要。
特に、条件式がsinxで与えられたなら　気がつきにくい。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

「aについて解いた」ところまではいいと思います。
まず、そのときに (分母)＝ 0となる場合を考えておかないといけませんね。

その後ですが、
a＝ (xの関数)の解はグラフで考えると、どのような点として与えられますか？

いま (xの関数)は三角関数ですが、2次関数や 3次関数になるような問題もありましたよね。＾＾