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高校の数学

質問です。 次の方程式を解いてください。 √10-x^2=x+2 ＜ポイント＞ グラフを用いない無理方程式 ２条して√をはずす 方程式の場合　Ａ＝Ｂ→Ａ＾２＝Ｂ＾２は成り立つが逆は成り立たない…＊ √をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する 解説・解法 方程式の両辺を二乗して　10-x^2=(x+2)^2 整理して　(x-1)(x+3)＝０　よってｘ＝１,-3 X=-3は与えられた方程式を満たさないから　ｘ＝１ こういうことが問題集(黄チャート数３基本例題８)に書いてあるんですが ＊ の行に書いてあることが成り立つなら ＝で結ばれた式を両辺二乗して出した答えが 必ずしも成り立つとは正しいとは限らないということになって たとえば sinθ＋cosθ＝１／２ （sinθ＋cosθ）＾２＝１／４　　　sin^2θ＋cos^2θ＝１より １＋２sinθcosθ＝１／４ sinθcosθ＝-3/8 この答えも両辺を２乗して出した答えだから 正しいとは限らないことになると思うんですが 僕の解釈はどこが間違ってるんですか？

みんなの回答

  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.3

>sinθcosθ＝-3/8 …(■) これはまだ答えではないね。 sin(2θ)=-3/4 …(□) 0≦θ＜2πであれば 0≦2θ≦4πなので (■)すなわち(□)の解は次の４個存在します。 2θ=π+arcsin(3/4),2π-arcsin(3/4),3π+arcsin(3/4),4π-arcsin(3/4) θ=(π/2)+(1/2)arcsin(3/4)=θ1,π-(1/2)arcsin(3/4)=θ2, (3π/2)+(1/2)arcsin(3/4)=θ3,2π-(1/2)arcsin(3/4)=θ4 しかし、この4個の解の候補がすべて 元のsinθ＋cosθ＝1/2…(●)　を満たすわけではないということですね。 実際に調べて見ると θ1とθ4が(●)を満たし θ2とθ3は(●)を満たしませんね。 y=sinθ＋cosθ-(1/2) と y=sinθcosθ-(-3/8) のグラフは下図のようになります。 それぞれのグラフがθ軸と交わる点が θ1,θ2,θ3,θ4です。 水色の線のところのθ1とθ4だけで２つのグラフがθ軸上で 交わっていますね。グラフからも（□）の解がすべて(■)の解 になるとは限らないということが確認できますね。 従って 「この答えも両辺を２乗して出した答えだから 正しいとは限らないことになると思うんですが 僕の解釈はどこが間違ってるんですか？」 この解釈は間違っていませんね。

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回答No.2

＞上と下の根本的な違いは何なのかということなんです 簡単な事だよ。 方程式を解く事は、解が必要十分条件でなければならない。 ところが、求値問題は、必要条件として成立すればよいだけで、十分条件でもある必要はない。それだけの事。

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回答No.1

＞方程式の場合　Ａ＝Ｂ→Ａ＾２＝Ｂ＾２は成り立つが逆は成り立たない…＊ 無理方程式の基本が分ってないようだ。 √（10-x^2）＝x+2　これは、x+2≧0、and、10-x^2＝（x+2）＾2　と同値。 従って、これを理解してれば、x＝-3　が除外される事は直ぐ分るだろう。

kakunasa
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 いってることはわかるんですが 僕が一番ききたいのは下の問題も 両辺を二乗してるから必ずしも正しく ないんじゃないかということなんです。 上と下の根本的な違いは何なのかということなんです。

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