• 締切済み

高校の数学

質問です。 次の方程式を解いてください。 √10-x^2=x+2 <ポイント> グラフを用いない無理方程式 2条して√をはずす 方程式の場合 A=B→A^2=B^2は成り立つが逆は成り立たない…* √をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する 解説・解法 方程式の両辺を二乗して 10-x^2=(x+2)^2 整理して (x-1)(x+3)=0 よってx=1,-3 X=-3は与えられた方程式を満たさないから x=1 こういうことが問題集(黄チャート数3基本例題8)に書いてあるんですが * の行に書いてあることが成り立つなら =で結ばれた式を両辺二乗して出した答えが 必ずしも成り立つとは正しいとは限らないということになって たとえば sinθ+cosθ=1/2 (sinθ+cosθ)^2=1/4   sin^2θ+cos^2θ=1より 1+2sinθcosθ=1/4 sinθcosθ=-3/8 この答えも両辺を2乗して出した答えだから 正しいとは限らないことになると思うんですが 僕の解釈はどこが間違ってるんですか?

みんなの回答

  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.3

>sinθcosθ=-3/8 …(■) これはまだ答えではないね。 sin(2θ)=-3/4 …(□) 0≦θ<2πであれば 0≦2θ≦4πなので (■)すなわち(□)の解は次の4個存在します。 2θ=π+arcsin(3/4),2π-arcsin(3/4),3π+arcsin(3/4),4π-arcsin(3/4) θ=(π/2)+(1/2)arcsin(3/4)=θ1,π-(1/2)arcsin(3/4)=θ2, (3π/2)+(1/2)arcsin(3/4)=θ3,2π-(1/2)arcsin(3/4)=θ4 しかし、この4個の解の候補がすべて 元のsinθ+cosθ=1/2…(●) を満たすわけではないということですね。 実際に調べて見ると θ1とθ4が(●)を満たし θ2とθ3は(●)を満たしませんね。 y=sinθ+cosθ-(1/2) と y=sinθcosθ-(-3/8) のグラフは下図のようになります。 それぞれのグラフがθ軸と交わる点が θ1,θ2,θ3,θ4です。 水色の線のところのθ1とθ4だけで2つのグラフがθ軸上で 交わっていますね。グラフからも(□)の解がすべて(■)の解 になるとは限らないということが確認できますね。 従って 「この答えも両辺を2乗して出した答えだから 正しいとは限らないことになると思うんですが 僕の解釈はどこが間違ってるんですか?」 この解釈は間違っていませんね。

すると、全ての回答が全文表示されます。
回答No.2

>上と下の根本的な違いは何なのかということなんです 簡単な事だよ。 方程式を解く事は、解が必要十分条件でなければならない。 ところが、求値問題は、必要条件として成立すればよいだけで、十分条件でもある必要はない。それだけの事。

すると、全ての回答が全文表示されます。
回答No.1

>方程式の場合 A=B→A^2=B^2は成り立つが逆は成り立たない…* 無理方程式の基本が分ってないようだ。 √(10-x^2)=x+2 これは、x+2≧0、and、10-x^2=(x+2)^2 と同値。 従って、これを理解してれば、x=-3 が除外される事は直ぐ分るだろう。

kakunasa
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 いってることはわかるんですが 僕が一番ききたいのは下の問題も 両辺を二乗してるから必ずしも正しく ないんじゃないかということなんです。 上と下の根本的な違いは何なのかということなんです。

すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 高校の数学です

    質問です。 次の方程式を解いてください。 √10-x^2=x+2 <ポイント> グラフを用いない無理方程式 2条して√をはずす 方程式の場合 A=B→A^2=B^2は成り立つが逆は成り立たない…* √をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する 解説・解法 方程式の両辺を二乗して 10-x^2=(x+2)^2 整理して (x-1)(x+3)=0 よってx=1,-3 X=-3は与えられた方程式を満たさないから x=1 こういうことが問題集(黄チャート数3基本例題8)に書いてあるんですが * の行に書いてあることが成り立つなら =で結ばれた式を両辺二乗して出した答えが 必ずしも成り立つとは正しいとは限らないということになって たとえば sinθ+cosθ=1/2 (sinθ+cosθ)^2=1/4   sin^2θ+cos^2θ=1より 1+2sinθcosθ=1/4 sinθcosθ=-3/8 この答えも両辺を2乗して出した答えだから 正しいとは限らないことになると思うんですが 僕の解釈はどこが間違ってるんですか?

  • 高校数学です

    質問です。 次の方程式を解いてください。 √10-x^2=x+2 <ポイント> グラフを用いない無理方程式 2条して√をはずす 方程式の場合 A=B→A^2=B^2は成り立つが逆は成り立たない…* √をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する 解説・解法 方程式の両辺を二乗して 10-x^2=(x+2)^2 整理して (x-1)(x+3)=0 よってx=1,-3 X=-3は与えられた方程式を満たさないから x=1 こういうことが問題集(黄チャート数3基本例題8)に書いてあるんですが * の行に書いてあることが成り立つなら =で結ばれた式を両辺二乗して出した答えが 必ずしも成り立つとは正しいとは限らないということになって たとえば sinθ+cosθ=1/2 (sinθ+cosθ)^2=1/4   sin^2θ+cos^2θ=1より 1+2sinθcosθ=1/4 sinθcosθ=-3/8 この答えも両辺を2乗して出した答えだから 正しいとは限らないことになると思うんですが 僕の解釈はどこが間違ってるんですか?

  • 高校数学 論理的に不十分

    『x,yについての連立方程式sinx+coy=a・・・(1),cosx+siny=b・・・(2)が実数解を持つための条件をa,bを用いて表せ。』 という問題を私はまず式(1)と式(2)の両辺を二乗して足し合わせ sin(x+y)=a^2+b^2-2/2 -1≦sin(x+y)≦1だから -1≦a^2+b^2-2/2≦1 ∴ a^2+b^2≦4  と解答したら、論理的に不十分だということで大きく減点されました。 ここで質問なのですが、 質問1 私の答案は何処が論理的に不十分なのでしょうか? 質問2 このような数学の論理上の誤答を避けるにはどうしたらよいでしょうか? ご回答宜しくお願いします。

  • 高校 数学

    x=ルート3sinθ+cosθ(0<=θ<2π)について。 (1)xのとりうる値の範囲は? (2)2sinの二乗θ+2ルート3sinθcosθ をxを用いて表せ。 (3)方程式2sinの二乗θ+ルート3sin2θ+3ルート3sinθ+3cosθ+3=0を解け。 全く分かりません!至急お願いします!

  • 高校数学の三角関数

    y=sin2θ+sinθ+cosθ の最大値、最小値を求める問題でt=sinθ+cosθとおいて、この式を2乗して     t^2=1+2sinθcosθとし、また元の式で2倍角の公式を利用してy=t^2+t-1と変形する解法が参考書等に書いてありますが、式を二乗してしまうと同値性が崩れてしまうと思うのですがこの解法でいいのですか。

  • 解が三角関数で表される2次方程式

    解が三角関数で表される2次方程式 aを正の定数とし、Θを0<=Θ<πを満たす角とする。このとき、2次方程式2x^2-2(2a-1)x-a=0の2つの解がsinΘ,cosΘであるという。a,sinΘcosΘであるという。 a,sinΘ,cosΘの値をそれぞれ求めよ。 与えられた2次方程式に対し、解と係数の関係からsinΘ+cosΘ=2a-1・・・・(1) sinΘcosΘ=-a/2・・・・・(2) (1)の両辺を2乗すると,sin^2Θ+cos^2Θ=1であるから1+2sinΘcosΘ=(2a-1)^2 これに(2)を代入して整理すると a(4a-3)=0 a>0であるからa=3/4 教えてほしいところ sinΘやcosΘは取り得る範囲が決まっていますよね??? よって、sinΘ+cosΘ=2a-1・・・・(1) sinΘcosΘ=-a/2とおいた時点でaの取り得る範囲が制限されるはずです。 よってa>0という条件に加えてさらにaの取り得る範囲は狭まるはずです。 ふつうの方程式のように解けば当然、そのようなことは考慮に入れていません。ですので、範囲の確認が必要なはず。 なのになぜ、a>0という条件しか確認しないんでしょうか???

  • 三角関数

    cos^2θ+√3sinθcosθ=1 (0≦x<2π) で、sinθ=3cosθ を解く際、両辺を二乗して、答えを出したら、間違ってました、なぜでしょうか? sin^2θ=3/4 sinθ=±√3/2 になぜならないのでしょうか?

  • 高校の数学を教えてください。

    方程式2x2+(a-1)x+(a+1)2=0について ※2xの2乗+(a-1)x+(a+1)の2乗=0です。 (2) 実数解をもつとき,その実数解のとりうる値の範囲を求めよ。 がわかりません。  実は,問題集に乗っていた問題なので解答があります。解答には,与式をaの2次方程式:a2+(x+2)a+2x2-x+1 とみて,aが実数解をもつため判別式D=(x+2)2-4(2x2-x+1)>=0の条件から 答:0<=x<=8/7(xは0以上8/7以下)としています。  xが実数解をもつという条件で考えるはずなのに,解答はaが実数解をもつ条件を考えています。さっぱりわかりません。おわかりになる方,ご教授願えませんでしょうか。よろしくお願いします。  ちなみに,(1)は, 「2つの整数解をもつように,定数aの値を定め,その解を求めよ。」です。

  • 「解析学序論」の積分についての問題。

    解析学序論の積分の問題で、 「∫(0からπ/2) dx/{a^(2)*cos^(2)x+b^(2)*sin^(2)x} = π/2ab (a,b>0)を示せ。」 という問題がわかりません。高校までの積分の知識で1/xを積分するとlog|x|+cになる等、様々な方法で左辺を変形したのですが、どうしても右辺に辿り着きません。「a^(2)*cos^(2)x+b^(2)*sin^(2)x」を読むと、「a自乗コサイン自乗x たす b自乗サイン自乗x」になります。 どなたか解き方、又は似たような回答付きの例題を教えて下さい。

  • 高校 数学 至急!

    f(θ)=-sin二乗θ-cosθ+a+2 (0<=θ<2π)において。ただしaは定数。 (1)t=cosθとするとき、f(θ)をtを用いて表せ。 また、tの値の範囲を求めよ。 (2)a=-1のときf(θ)=0を解け。 (3)方程式f(θ)=0を満たす解が2つ存在するとき、定数aの値の範囲は? 全くわかりません!至急お願いします!

このQ&Aのポイント
  • 2023年10月に「用紙が詰まりました」で質問させて頂きましたが、同じような現象が再び起きました。
  • 印刷を開始した瞬間に紙が詰まり、「用紙が詰まりました」というメッセージが表示されます。また、青と黄色のインクが出なくなってしまいました。
  • キヤノンのサポートからは修理に出すか、買い換えるかの提案を受けましたが、修理代金と買い換えの費用がほぼ同じであるため、まだインクが残っていることも考慮し、自力でトラブルを解決したいと思っています。
回答を見る